中职数学(基础模块)下卷课件

招生

一种6.1数列概念【教育目标】知识目标：

(1)了解数列的相关概念

)掌握数列的一般项(一般项)和一般项的公式。能力目标：通过实例引出数列的定义，培养学生的观察能力和归纳能力【教育要点】用数列通项公式写出数列中的任意一项，可以判断一个数是否为数列中的一个。【教育难点】根据数列前几项写出其通项公式【教育设计】

通过几个实例说明数列及其相关概念：项、初项、项数、穷数列和无穷数列.说明数列通项(通项)和通项公式

从一些具体例子入手，引出数列的定义。数列是按一定顺序排列的一列数。学生往往很难明白什么是“一定的顺序”。 实际上，不管能否表达，只要写了就会被赋予“下一个”序”，例如我们随便写的两列数： 2、1、15、3、243、23和1、15、23、2、243、3因为都是以“一定的顺序”排列的一列的数量，所以都是数列，但它们的排列“顺序”不同。所以是不同的数列。例1和例3是基本主题，前者是利用一般项公式写出数列中项； 后者用通项式判断一个数是否为数列中的项，是一般项式的逆应用。

例2 )巩固定型题目，指导学生完成分析。 列举项目数与项目的对应关系并不普遍，使用对应表更直观，难度降低，学生更容易接受。 【教育用品】教材。【时间表】两帧。

【教育过程】教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴明确课题

6.1数列概念对方案的引进感兴趣介绍0- 2 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴

正整数从小到大排列成一列的数量1，2，3，4，5，…. (1)2的正整数指数的乘方从小到大排列成一列的数3452，2，2，2，2， (2)

如果n从小到大取正整数，则cos n的值会排成一列，成为下一个数- 1，1，- 1，1，…. (3)取无理数的近似值(四舍五入法)，服从有效数字的个数，排成一列的数量是

3、3.1、…. (4、3.141、3.1416、 (4)播放课件

抱有疑问诱导分析看

课件思考自我分析从事实出发出例题

打发使者学习学生自然地你怎么走向知

了解要点5

开动脑筋探索新知识【新知识】

如上例所示，以一定顺序排列的一列的数量称为数列.数列的各个数叫做数列项。 从第一项开始

从左向右的排序，各项根据其位置依次被称为该数列的第一项()第一项(、第二项、第三项、第n项、其中反映了各项数列中位置的数字1、2、3、n分别称为对应项的项数。只有有限项的数列叫有穷数列，无限多项的数列叫有穷数列无限数列。【提示】

数列"项"和该项的"项数"是两个不同的概念，例如数列)2)中，第3项为3 ) 2，该项的项数为3。 【想想看】上面四个数列中，哪个有穷数列，哪个是无限数列？【新知识】从数列第一项开始，各项项数依次与正整数相对总结

总结一下仔细地分析

思考理解率领学生分析诱导- 3 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴因此，无限数列的一般形式可以写1 2 3、naaaa、() nn ) )。

记为(na )。 这里，下角码中的数为项数，1 a表示第1项、2 a表示第2项，….n从小到大取正整数值时，n a依次为好为了表示数列中的各项，通常将n项n a称为数列{ n a }的通项或一般项。解释

关键点单词

记忆式启发头发学生来就是打个结果实10

运用知识加强练习

1 .讲生活中数列的实例。

2 .数列“1、2、3、4、5”和数列“5、4、3、2、1”是同一个数列吗？

3 .将数列{ }n a定为“-5，-3，- 1，1，3，5，…”，指出其中的3 a、6 a分别是什么？提问巡视指导思考

说出答案及时地理解学生知识把握

得到同情情况15

对方案的引进感兴趣【观察】

6.1.1中的数列(1)，各项按从小到大的顺序排列正整数。1a 1、2 a2、3 a3、…、

我知道每个项目都和这个项目数正好一样。 可以使用这个法则*) nannnn

来修改选定线条的属性。 利用这个规律，可以很容易地写出数列中的任意一个，如下所示11a 11，20a 20。6.1.1中的数列(2)，各项按从小到大的顺序排列2的正整数指数幂

1a 2，2

2 a2，33 a2，…，抱有疑问诱导分析思考参加分析里德启动学习学生思考

- 4 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴

每个项目的底部是2，你可以看到每个项目的指数正好是这个项目数.这个法则可以使用* 2) ) n

美国国家航空航天局n N

表示，利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如1111 a  2 ， 2020 a  2 ．25*动脑思考 探索新知【新知识】

一个数列的第 n 项 n a ，如果能够用关于项数 n1的一个式

子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 数列（1）的通项公式为 n a  n ，可以将数列（1）记为数列{n}；数列（2）的通项公式为 2n

n a  ，可以将数列（2）记为数列{2 }n.

总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结35*巩固知识 典型例题

例 1 设数列{ n a }的通项公式为12

n n a  ，写出数列的前 5 项．

分析 知道数列的通项公式，求数列中的某一项时，只需将通项公式中的 n 换成该项的项数，并计算出结果．解 1 11 12 2

a   ； 2 21 12 4

a   ； 3 31 12 8

a   ； 4 41 12 16

a   ；5 51 1

2 32

a   ．

例2 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式.

(1)5,10,15,20 ， … ； (2) 1 1 1 1, , , , 2 4 6 8 … ；说明强调引领讲解说明观察思考主动求解

通 过例 题进 一步 领会- 5 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

（3）−1，1，−1，1，…．

分析 分别观察分析各项与其项数之间的关系，探求用式子表示这种关系．解 （1）数列的前 4 项与其项数的关系如下表：项数 n 1 2 3 4项 n a

5 10 15 20

关系 5  51 10  5 2 15  5 3 20  5 4由此得到，该数列的一个通项公式为5 n a  n ．

（2）数列前 4 项与其项数的关系如下表：由此得到，该数列的一个通项公式为12

n a

n  ．

（3）数列前 4 项与其项数的关系如下表：由此得到，该数列的一个通项公式为( 1)nn a   ．序号 1 2 3 4项 n a

12141618关系

1 1

2 2 1 1 14 2 2 1 16 2 3 1 1

8 2 4 序号 1 2 3 4项 n a −1 1 −1 1关系 1(1) 2(1) 3(1) 4(1)引领分析强调观察思考注意观察学生是否理解知识点- 6 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

【注意】

由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一的．例如， ( 1)n

n a   与 an  cos n 都是例 2（3）中数列“−1，1，−1，1，…．”的通项公式．【知识巩固】

例 3 判断 16 和 45 是否为数列{3n+1}中的项,如果是,请指出是第几项. 分析 如果数 a 是数列中的第 k 项，那么 k 必须是正整数，并且 a  3k 1 . 解 数列的通项公式为 3 1 n a  n  . 将 16 代入数列的通项公式有16  3n 1，解得

* n  5N ．

所以，16 是数列{3n 1}中的第 5 项．将 45 代入数列的通项公式有45  3n 1，解得

44 * 3

n   N ，

所以，45 不是数列{3n 1}中的项．含义说明求解领会思考求解反复强调50

*运用知识 强化练习

1. 根据下列各数列的通项公式，写出数列的前 4 项：（1）  3  2n an ； （2） a nnn  (1)  ．2. 根据下列各无穷数列的前 4 项,写出数列的一个通项公式：（1）−1，1，3，5，…； (2) 13  , 16, 1

9  , 112 ，…；启发

引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳- 7 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

(3) 12, 34

, 56, 7

8 ，….

3. 判断 12 和 56 是否为数列 2 {n  n}中的项，如果是，请指出是第几项．65

*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：数列、项、项数分别是如何定义的？结论：

按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，第 3项，…，第 n 项，…，其中反映各项在数列中位置的数字 1，2，3，…，n，分别叫做各项的项数．质疑

归 纳强调回答

及 时了 解学 生知 识掌 握情况75

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导 回忆*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？判断 22 是否为数列 2 {n  n  20}中的项，如果是,请指出是第几项．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果85

*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题 6．1 A 组（必做）；6．1 B 组（选做）(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的数列实例说明 记录 分 层次 要求

90

【教师教学后记】- 8 -项目 反思点

学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；

在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况

学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面． 【课题】 6．2 等差数列（一）【教学目标】知识目标：

（1）理解等差数列的定义；（2）理解等差数列通项公式．能力目标：通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．【教学重点】等差数列的通项公式．【教学难点】

等差数列通项公式的推导．【教学设计】- 9 -

本节的主要内容是等差数列的定义、等差数列的通项公式.重点是等差数列的定义、等差数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特

点: a a d n1  n  (常数).例 1 是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义. 教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳方法是不完全归纳法.因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明.例 2 是求等差数列的通项公式及其中任一项的巩固性题目,注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四个量：

, , , , 1 n a d n a只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量．【教学备品】教学课件．【课时安排】

2 课时．(90 分钟)【教学过程】教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*揭示课题

6．2 等差数列．*创设情境 兴趣导入【观察】

将正整数中 5 的倍数从小到大列出，组成数列：5，10，15，20，…． （1）将正奇数从小到大列出，组成数列：1，3，5，7，9，…． （2）观察数列中相邻两项之间的关系，发现：从第 2 项开始，数列(1)中的每一项与它前一项的差都是 5；数列（2）中的每一项与它前一项的差都是 2．这两个数列的一个共同特点就是从第 2 项开始，数列中的每一项与它前一项的差都等于相同的常数．介绍播放课件质疑引导分析了解观看课件思考自我分析

从 实例 出发 使学 生自 然的 走向 知识点引导式启发学生得出结果

05

- 10 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*动脑思考 探索新知

如果一个数列从第 2 项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母 d 表示．由定义知，若数列 an  为等差数列， d 为公差，则n 1 n a a d    ,即

总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析10*巩固知识 典型例题

例１ 已知等差数列的首项为 12，公差为−5，试写出这个数列的第 2 项到第 5 项．解 由于 a1  12,d  5，因此

a2  a1  d  12   5  7；7  5 2 a3  a2  d     ；a4  a3  d  2   5  3；3  5 8. a5  a4  d      说明强调引领讲解说明观察思考主动求解

通 过例 题进 一步 领会 等差 数列 通项 公式45

*运用知识 强化练习

1. 已知an 为等差数列， 5 a  8 ，公差 d  2 ，试写出这个数列的第 8 项 8 a ．2. 写出等差数列 11,8,5,2,…的第 10 项. 提问巡视

指导动手求解及时了解学生知识掌握得情况 25

*创设情境 兴趣导入 从实

n 1 n a a d    （6.1）- 11 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

你能很快地写出例 1 中数列的第 101 项吗?显然，依照公式（6.1）写出数列的第 101 项,是比较麻烦的，如果求出数列的通项公式，就可以方便地直接求出数列的第 101 项．质疑引导分析思考参与分析际事例使学生自然的走向知识点30

*动脑思考 探索新知

设等差数列an 的公差为 d ，则, a1  a1 ．．．．．．依此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式

1  1 . n a  a  n  d (6.2)知道了等差数列an中的 1 a 和 d ，利用公式（6.2），可以直接计算出数列的任意一项. 在例１的等差数列{ }n a 中， 1 a  12，d  5 ，所以数列的通项公式为12 ( 1)( 5) 17 5 n a   n     n ，数列的第 101 项为101 a 17  5101  488 ．【想一想】

等差数列的通项公式中,共有四个量： n a 、a1 、n 和 d ，, a2  a1  d

  2 , 3 2 1 1 a  a  d  a  d  d  a  d 2  3 , 4 3 1 1 a  a  d  a  d  d  a  d总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结问题得到

等 差数 列通 项公式引 导启 发学 生思 考求解35

- 12 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？*巩固知识 典型例题例 2 求等差数列  1,5,11 ,17 , ．．．

的第 50 项. 解 由于 1, 5  1 6, a1   d  a2  a1     所以通项公式为( 1) 1 ( 1) 6 6 7, an  a1  n d    n   n即 a  6n  7. n 故6 50 7 293. a50    

例 3 在等差数列an 中, 48, a100  公差 , 31d  求首项 1. a解 由于公差 , 31

d  故设等差数列的通项公式为11

( 1) 3

n a  a  n   由于 100 a  48，故11

48 (100 1) 3  a    ，解得1 a  15. 【小提示】

本题目初看是知道 2 个条件，实际上是 3 个条件：n 100，48, n a 13

d  ．

例 4 小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好说明

强调引领讲解说明引领分析强调含义说明观察思考主动求解观察思考求解领会思考求解通 过例 题进 一步 领会

注意观察学生是否理解知识点反复强调45

- 13 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

构成一个等差数列,他们三人的年龄之和为 120 岁,爷爷的年龄

比小明年龄的 4 倍还多 5 岁,求他们祖孙三人的年龄. 分析 知道三个数构成等差数列，并且知道这三个数的和,可以将这三个数设为 a  d , a , a  d ,这样可以方便地求出a ,从而解决问题. 解 设小明、爸爸和爷爷的年龄分别为 a  d , a , a  d , 其中 d 为公差则

              a d a da d a a d4 5120, 解得

a  40, d  25从而

a  d  15, a  d  65. 答 小明、爸爸和爷爷的年龄分别为 15 岁、40 岁和 65 岁. 【注意】将构成等差数列的三个数设为 a  d , a , a  d ,是经常使用的方法.50

*运用知识 强化练习练习 6.2.21.求等差数列25

,1, 85

,…的通项公式与第 15 项．

2.在等差数列an 中， 5 a  0 ， 10 a 10，求 1 a 与公差 d .3.在等差数列an 中， 5 a  3 ， 9 a  15 ，判断－48 是否为数列中的项，如果是,请指出是第几项.启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳60

*理论升华 整体建构- 14 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

思考并回答下面的问题：等差数列的通项公式是什么？结论：等差数列的通项公式

1  1 . n a  a  n  d质疑归 纳强调

小组讨论回答理解强化

及 时了 解学 生知 识掌 握情况

以 小 组讨 论 师生 共 同归 纳 的形 式 强调 重 点突 破 难点70

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导 回忆*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？写出等差数列1

5 ，3

5 ，1，75 ，…

的通项公式，并求出数列的第 11 项．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果培 养学 生总 结反 思学 习过 程的 能力80

*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题 6．2（必做）；学习指导 6．3（选说明 记录 分 层次 要

- 15 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

做）

(3)实践调查：寻找生活中等差数列的实例求90

【教师教学后记】项目 反思点

学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；

在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况

学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】 6．3 等比数列（一）【教学目标】知识目标：

（1）理解等比数列的定义；（2）理解等比数列通项公式．能力目标：- 16 -

通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．【教学重点】等比数列的通项公式．【教学难点】

等比数列通项公式的推导．【教学设计】

本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导．

等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的重视.同时要强调“等比”的特点: qaan

n 1

(常数). 例 1 是基础题目,有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法

加以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量：a1 ，q , n , n a , 只有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例 2、例３都是这类问题.注意:例 3 中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法. 从例 4 可以看到,若三个数成等比数列,则将这三个数设成是 a aqqa

, , 比较好,因为这

样设了以后,这三个数的积正好等于 , 3 a 很容易将 a 求出. 【教学备品】教学课件．【课时安排】

2 课时．(90 分钟)【教学过程】教 学过 程教师

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*揭示课题

6．3 等比数列．*创设情境 兴趣导入介绍 了解 从 实例 出发 使0

- 17 -教 学过 程教师

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【观察】

某工厂今年的产值是 1000 万元，如果通过技术改造，在今后的 5 年内，每年的产值都比上一年增加 10%，那么今年及以后 5 年的产值构成下面的一个数列（单位：万元）：

2 3 4 5 1000,1000 1.1,1000 1.1 ,1000 1.1 ,1000 1.1 ,100 0 1.1 . 不难发现，从第 2 项开始，数列中的各项都是其前一项的1.1 倍，即从第 2 项开始，每一项与它的前一项的比都等于 1.1．播放课件质疑引导分析观看课件思考自我分析

学 生自 然的 走向 知识点5

*动脑思考 探索新知【新知识】

如果一个数列从第 2 项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做这个等比数列的公比，一般用字母 q 来表示．由定义知，若an 为等比数列，q 为公比，则 a1 与 q 均不为零，且有 n 1

n aqa

  ，即(6.5)总结

归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果10

*巩固知识 典型例题

例１ 在等比数列{ }n a 中， 1a  5 ，q  3 ，求 2 a 、 3 a 、 4 a 、5 a ．解

2 13 24 35 4

5 3 15, 15 3 45, 45 3 135, 135 3 405. a a qa a qa a q

a a q                 【试一试】说明强调引领讲解说明观察思考主动求解通 过例 题进 一步 领会15

n 1 n a a q    ．- 18 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

你能很快地写出这个数列的第９项吗？*运用知识 强化练习练习 6.3.1

1．在等比数列an 中， 6 a3   ， q  2 ，试写出 4 a 、6 a ．2．写出等比数列3,6,12,24, ……的第５项与第 6 项．提问巡视指导动手求解及时了解学生知识掌握得情况

25

*创设情境 兴趣导入

如何写出一个等比数列的通项公式呢？质疑引导分析思考参与分析学生自然的走向知识点30*动脑思考 探索新知

与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关系，分析、探求规律．设等比数列an 的公比为 q，则 

 2 12

3 2 1 12 34 3 1 1,,

, a a q

a a q a q q a q

a a q a q q a q                 ……【说明】 01 1 1 a  a 1 a  q依此类推，得到等比数列的通项公式： （6.6）知道了等比数列an中的 1 a 和 q ，利用公式（6.6），可以总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结问题得到等 差数 列通 项

公式 35- 19 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

直接计算出数列的任意一项. 【想一想】

等比数列的通项公式中,共有四个量： n a 、 a1 、 n 和 q ，只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？引 导启 发学 生思 考求解

*巩固知识 典型例题例 2 求等比数列,81

, 41, 2

1 1, 的第 10 项．解 由于 1a  1，12

q   ，

故，数列的通项公式为1 11 1

1 1 1 1 1

1 1 ( 1) ( 1) 2 2 2  

                         n n

n n n

n n a a q ，所以10

10 10 11 1

( 1) 2 512a    ．

例 3 在等比数列an 中， 5 a  1，18

a８   ，求 13 a ．解 由81

1, a5   a8   有41 1  a  q ， （1）711

8   a  q ， （2）（2）式的两边分别除以(1)式的两边,得38

1  q , 由此得说明

强调引领讲解说明引领分析强调含义观察思考主动求解观察思考求解通 过例 题进 一步 领会

注意观察学生是否理解45- 20 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间21

q  ．将21

q  代人（1），得4

1 a  2 , 所以，数列的通项公式为4 1 1 2 ( ) 2nn a

    ．故12

12 4 813 11 12 2

2 256a a q

              ．【注意】

本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究等比数列问题的常用方法．【想一想】

在等比数列an 中， 719

a  ，13

q  ．求 3 a 时，你有没有比较简单的方法？【知识巩固】

例 4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们三人钓鱼的数量恰好组成一个等比数列．已知他们三人一共钓了 14 条鱼，而每个人钓鱼数量的积为 64． 并且知道，小强钓的鱼最多，小明钓的鱼最少，问他们三人各钓了多少条鱼？分析 知道三个数构成等比数列，并且知道这三个数的积,可以将这三个数设为 , , aa aqq

,这样可以方便地求出 a ,从

而解决问题. 解 设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为 , , aa aqq ．则说明

引领分析强调含义领会思考求解观察思考求解知识点反复强调

- 21 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

14, 64. aa aqqa

a aqq

       解得



 

2, 4, qa或



 . 214, qa

当 q  2 时2, 4 2 8, 24   aq   qa

此时三个人钓鱼的条数分别为 2、4、8. 当21

q  时2, 218, 42

1

4   aq   qa

此时三个人钓鱼的条数分别为 8、4、2. 由于小明钓的鱼最少，小强钓的鱼最多，故小明钓了 2 条鱼，小刚钓了 4 条鱼，小强钓了 8 条鱼．【注意】

将构成等比数列的三个数设为 a aqqa

, , ，是经常使用的方法．

说明领会思考注意观察学生是否理解知识点反复强调50

*运用知识 强化练习

1.求等比数列 ,2,6,32

.的通项公式与第 7 项．2.在等比数列an 中， 2125

a   , 5 a  5 , 判断 125是否为数列中的项，如果是，请指出是第几项. 启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳60

- 22 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：等比数列的通项公式是什么结论：. 1

1    n a n a q质疑归 纳强调

回答理解强化

及 时了 解学 生知 识掌 握情况70

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导 回忆*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？已知等比数列{ }n a 中, 81

1, a4   a7   ,求 a11．解答 1 由已知条件得3161118

a qa q  

  

解方程组得 1a  812

q  ，因此1011

1 1

8 ( ) 2 128a      ．解答 2 由1 3 1

8    q 得12

q  ．所以411

1 1 1

( ) ( ) 8 2 128a      ．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果养育

学习学生总结反省学习过程的能量力量80

继续探索活动

(1)阅读部分)教材

)2)书面作业)教材习题6.3A班(必做)； 课文习题6.3B组(选择) )说明记录的分层下次再说

寻求

- 23 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴

(3)实践调查：用等比数列通式解决生活之一问题90【教师教育后记】项目反思点

学生知识技能的掌握情况学生是否真正理解知识

能否利用知识、技能解决问题；知识、技能的掌握存在哪些问题；学生的感情态度学生是否参加有关活动

在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否想通过自己的努力克服；学生的思考状况

学生是否积极思考；思维是否有秩序和灵活性能否提出新的想法；是否自觉反省；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作在交流中，是否表现得积极；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否想开展实践能否根据问题合理实践；在实践中能否积极思考

能否有意识地反思实践过程的方方面面【课题】7.1平面矢量的概念和线性运算【教育目标】知识目标：

(1)了解向量、向量相等、共线向量等概念)掌握矢量、矢量相等、共线矢量等概念。能力目标：- 24 -

通过这些内容的学习，培养学生的计算技能和思维能力【教育要点】向量的线性运算。【教育难点】

求出已知两个向量，这两个向量的差向量和非零向量平行的充要条件。【教育设计】

从“不同方向的力作用于小车，运动效果不同”的实际问题出发引入概念。与量不同，量是只有大小的量，但向量有大小和方向。 在教材中是有方向的线段直观地表示矢量，有向线段的长度称为矢量的模，有向线段的方向表示矢量的方向、数量量可以比较大小，但向量无法比较大小。 符号“a>； B”没有意义。 “(a (((((((() ) ) ) b )”才是有意义。 通过一个生活案例，教材通过位移引入向量的加法运算。 矢量的加法有三角形定律和平行四边形定律。 向量的减法是基于负向量，通过向量的加法定义的。 也就是说，a-b=a(-b )，这是相通的由过几何作图方法得到的即a-b可以表示为由向量b的终点指向向量a的终点的向量减法运算时，必须将两个向量平移到同一个起点。实数乘以非零的向量a是乘方运算，将其结果表示为a，它是向量，其方向和向量a同样，那个模子是a的两倍。 由此可以得到abab。 对向量共线的充电条件必须特别注意“非”零矢量a，b "和"0"等条件教材。

【时间表】两帧。【教育过程】教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴明确课题

7.1平面向量的概念和线性运算对方案的引进感兴趣

如图7-1所示，用100N的力，将一辆车向不同的方向拉动，效果是一样的吗？介绍播放课件理解看

课件

从事实出发出例题0

- 25 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴图7-1诱导

分析思考自我分析

打发使者学习学生自然地你怎么走向知

了解要点3

开动脑筋探索新知识【新知识】

数学和物理学有两种量。 只有大小，没有方向的量

称为数量(标量)。 例如质量、时间、温度、面积、密度等。 已有有大小、有方向的量称为向量(向量)。 例如力、速度、比特等等。

在平面上有指向的线段(有向线段)称为平面矢量，线段的指向是矢量的方向，线段的长度表示矢量的大小。如图7-2所示如所示，将有向线段的起点称为平面矢量的起点，有向线段的终点叫做平面矢量的终点。把以a为起点，b为终点的矢量称为AB.使用小写的英文字母，印刷用黑体表示，也可以用a表示；手写时，请在文字上加上箭头，表示为a

同调AAB

图7-2

矢量的大小称为矢量的大小。 向量a、AB的模具按顺序标记为a，AB同调总结

总结一下仔细地分析解释

关键点单词

思考理解记忆率领学生分析诱导式启头发学

生来就是打个结果实- 26 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴

模为零的矢量称为零矢量。 标记为0，零向量的方向不确定已经决定了。模为1的向量称为单位向量。10

巩固知识的典型例题

例1一架从A向正南方方向飞行200km，另一架从A地点向北向东45方向飞行200km，两架飞机的位移相同是吗？ 用有向线段表示两架飞机的位移。解位移是矢量。 这两个向量的模相等，但它们的

因为方向不同，所以两架飞机的位移不同。 两架飞机的位移方向线段表示分别是图7-3中有向线段a和b .图7-3说明强调领先解释说明强调意义观察思考

自发地求解通过例题进一

步行街能做到13ABA

- 27 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*运用知识 强化练习

说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格为 1)．KTK

图 7−4AB

C DEFHGMNQ PLZ

提问巡视指导思考口答及时了解学生知识掌握得情况18

*创设情境 兴趣导入

观察图 7−4 中的向量 AB 与 MN

 ，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量 CD 与 PQ 所在的直线平行，两个向量的方向相反．

播放课件质疑引导分析观看课件自我分析从 实例 出发 使学 生自 然的 走向 知识点 20

*动脑思考 探索新知【新知识】

方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．向量a 与向量 b 平行记作 a //b．规定：零向量与任何一个向量平行．由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量．

总结归纳仔细分析思考归纳理解记忆带领学生总结- 28 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

【想一想】

图 7−4 中，哪些向量是共线向量？讲解关键词语23

*动脑思考 探索新知【新知识】

图 7−4 中的平行向量 AB 与 MN ，方向相同，模相等；平行向量 HG 与TK

 ，方向相反，模相等．

我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．当向量 a 与向量 b 的模相等并且方向相同时，称向量 a 与向量 b 相等，记作 a = b ．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．与非零向量a 的模相等，且方向相反的向量叫做向量a 的负向量，记作 a ．

规定：零向量的负向量仍为零向量．显然，在图 7－4 中， AB= MN

 ，GH= －TK ．总结

归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆思考归纳理解记忆28- 29 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*巩固知识 典型例题

例 2 在平行四边形 ABCD 中（图 7－5），O 为对角线交点．（1）找出与向量 DA 相等的向量；（2）找出向量 DC 的负向量；（3）找出与向量 AB 平行的向量．

分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解 由平行四边形的性质，得（1）CB= DA

 ；（2） BA= DC

,CD  DC  ；（3） BA// AB, DC// AB ，CD

// AB ．AD CB

图 7－5O

说明强调引领讲解说明引领强调含义说明观察思考主动求解观察思考求解领会思考求解通 过例 题进 一步领

注意观察学生是否理解知识点反复强调+

33

*运用知识 强化练习

1． 如图， ABC 中，D、E、F 分别是三边的中点，试写出（1）与 EF

 相等的向量；（2）与 AD 共线的向量．FAD

B EC

（ 练 习 题1．1．1 第 2第 1 题图F EA

B CDO

（第图21题－图8）

2．如图，O 点是正六边形 ABCDEF 的中心，试写出（1）与OC

 相等的向量；（2）OC 的负向量；（3）与OC 共线的向量．启发引导提问巡视思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳38

- 30 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

指导

*创设情境 兴趣导入

王涛同学从家中（A 处）出发，向正南方向行走 500 m 到达超市（B 处），买了文具后，又沿着北偏东 60°角方向行走200 m 到达学校（C 处）（如图 7－6）．王涛同学这两次位移的总效果是从家（A 处）到达了学校（C 处）．ABC

图7－6500m200m播放课件质疑引导分析观看课件自我分析

从 实例 出发 使学 生自 然的 走向 知识点42

*动脑思考 探索新知位 移 AC

 叫 做 位 移 AB 与 位 移 BC 的 和 ， 记 作AC= AB+ BC

 ．图7－7A CB

ab

a+ba

b 一般地，设向量 a 与向量 b 不共线，在平面上任取一点 A(如图 7－6)，依次作 AB

=a, BC=b，则向量 AC

 叫做向量 a 与向量 b 的和，记作 a＋b ，即a＋b = AB ＋ BC

= AC

 （7．1）

求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．总结归纳思考归纳带领学生总结

- 31 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

观察图 7－7 可以看到：依照三角形法则进行向量 a 与向量 b 的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做 a 与 b 的和向量．其和向量的起点是向量 a 的起点，终点是向量 b 的终点．【做一做】给出两个不共线的向量 a 和 b，画出它们的和向量．【想一想】

（1）a＋b 与 b＋a 相等吗？请画出图来说明．（2）如果向量 a 和向量 b 共线，如何画出它们的和向量？仔细分析讲解关键词语理解记忆50

*动脑思考 探索新知

如图 7－9 所示， ABCD 为平行四边形，由于 AD= BC

 ，

根据三角形法则得AB

 ＋ AD= AB ＋ BC= AC

 这说明，在平行四边形ABCD 中， AC 所表示的向量就是 AB

 与 AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：（1）a＋0 = 0＋a = a； a＋（−a）= 0；（2）a＋b=b＋a；（3）（a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．图 7－9A

D CB

总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结55*巩固知识 典型例题

例 3 一艘船以 12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为 5 km/h，求该船的实际航行速度．- 32 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

解 如图 7－10 所示， AB 表示船速，AC

 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则， AD 是船的实际航行速度，显然2 2

AD  AB  AC  =2 2 12  5 =13．又

5

12

tan CAD  ，利用计算器求得 CAD  67232．

即船的实际航行速度大小是 13km/h，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约 6723 ．

*例 4 用两条同样的绳子挂一个物体（图 7－11）．设物体的重力为 k，两条绳子与垂线的夹角为 ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力 F1 与 F2 的大小．分析 由于两条同样的绳子与竖直垂线所

成的 角都 是  ，所 以F1  F2 ．解决问题不考虑其它因素，只考虑受 力 的 平 衡 ， 所 以

F1 F2   k . 解 利用平行四边形法则，可以得到1 2 1 F  F  2 F cos  k ，所以1 2cosk

F ．【想一想】

根据例题 4 的分析，判断在单杠上悬挂身体时(如图 7－AD BC

图 7－10F2 F1k

图 7－11说明

强调引领讲解说明引领分析观察思考主动求解观察思考求解领会注意观察学生是否理解知识点- 33 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

12)，两臂成什么角度时，双臂受力最小？图 7-12讲解说明思考求解反复强调62

*运用知识 强化练习练习 7.1.2

1． 如图，已知 a，b，求 a＋b．2．填空（向量如图所示）：

（1）a＋b =_____________ , （2）b＋c =_____________ , （3）a＋b＋c =_____________ ．3．计算：（1） AB

 ＋ BC

 ＋CD ； （2）OB ＋ BC ＋CA ．（图 1－15）bba

a （1） （2）第 1 题图

启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境 兴趣导入

在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．质疑引导分析思考参与分析

引 导启 发学 生思考66

*动脑思考 探索新知- 34 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

与数的运算相类似，可以将向量 a 与向量 b 的负向量的和定义为向量 a 与向量 b 的差．即a −b = a＋(−b)．设 a =

 OA ，b  OB ，则

OA  OB  OA  (OB)= OA  BO  BO  OA  BA         ．即 OA OB

= BA

 （7．2）

观察图 7－13 可以得到：起点相同的两个向量 a、 b，其差 a－b 仍然是一个向量，叫做 a 与 b 的差向量，其起点是减向量 b 的终点，终点是被减向量 a 的终点．a Aa-bB

bO

图7－13总结

归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结68*巩固知识 典型例题

例 5 已知如图 7－14（1）所示向量 a 、b ，请画出向量a－b．BbO

a Ab

a （1） （2）图7－14

解 如图 7－14（2）所示，以平面上任一点 O 为起点，作OA=a，OB

=b，连接 BA，则向量 BA 为所求的差向量，即BA

= a－b ．【想一想】

当 a 与 b 共线时，如何画出 a－b ．强调含义说明思考求解领会思考求解注意观察学生是否理解知识点70

- 35 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*运用知识 强化练习1．填空：（1） AB AD=_______________，（2） BC

 BA

=______________，（3）OD OA

=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设 AB

= a, AD= b，

试用 a, b 表示向量 AC 、BD 、 DB ．

启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳 72

*创设情境 兴趣导入

观察图 7－15 可以看出，向量 OC 与向量 a 共线，并且OC ＝3a．a

a a a

O A B C图 7−15质疑引导分析思考参与分析

引 导启 发学 生思考74

*动脑思考 探索新知

一般地，实数  与向量 a 的积是一个向量，记作  a，它的模为| a ||  || a | （7．3）

若|  a | 0，则当  ＞0 时， a 的方向与 a 的方向相同，当 ＜0 时，  a 的方向与 a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量 a、b，当   0 时，有 a ∥b  a  b （7．4）总结归纳思考归纳带领学生分析

- 36 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

一般地，有

0a= 0,  0 = 0 ．

数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对

于任意向量 a, b 及任意实数 、 ，向量数乘运算满足如下的法则：

1 1a  a，1 a  a ；2 a   a   a；3   a  a  a；４  a  b  a  b．【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．

向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．仔细分析讲解关键词语理解记忆理解记忆引导启发学生得出结论78

*巩固知识 典型例题

例 6 在平行四边形 ABCD 中，O 为两对角线交点如图 7－16， AB ＝a ， AD ＝b，试用 a, b 表示向量 AO 、OD ．分析 因为1

2

AO  AC , 12

OD  BD

  ，所以需要首先分别求出向量 AC 与 BD

.图 7－16强调含义思考求解注意观察- 37 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

解 AC

 ＝a＋b, BD ＝b −a，因为 O 分别为 AC，BD 的中点，所以1 12 2  

  AO AC （a＋b）＝12

a＋12

b， OD ＝12

BD

 ＝12

（b −a）＝− 12a+1

2

b．

例 6 中，12

a＋12

b 和− 12a+1

2

b 都叫做向量 a，b 的线性组合，或者说， AO 、OD 可以用向量 a，b 线性表示．

一般地， a＋  b 叫做 a, b 的一个线性组合（其中  ,  均为系数）．如果 l ＝  a＋  b，则称 l 可以用 a，b 线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．说明领会思考求解学生是否理解知识点

81

*运用知识 强化练习

1． 计算：（1）3（a −2 b）－2（2 a＋b）；（2）3 a −2（3 a −4 b）＋3（a −b）．2．设 a, b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝12

（a＋b）．启发

引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳 83

*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：向量、向量的模、向量相等是如何定义的？结论：

当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，这种量叫做向量（矢量）向量的大小叫做向量的模．向量 a, AB 的模依次记作 a ，AB ．

a 与向量 b 的模相等并且方向相同时，称向量 a 与向量 b相等，记作 a = b ．质疑

归 纳强调

回答 及 时了 解学 生知 识掌 握情况85

- 38 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导 回忆*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？计算：

（1） AB

 ＋ BC

 ＋CD ； （2）OB ＋ BC ＋CA ．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果88

*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题 7．1 A 组（必做）；7．1 B 组（选做）(3)实践调查：试着用向量的观点解释生活中的一些问题说明 记录 分 层次 要求

90

【教师教学后记】项目 反思点

学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；

在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况

学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；- 39 -是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况

学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】7.2 平面向量的坐标表示【教学目标】知识目标：

（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；（2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式. 能力目标：培养学生应用向量知识解决问题的能力. 【教学重点】向量线性运算的坐标表示及运算法则. 【教学难点】向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键. 【教学设计】向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在

坐标原点（一般称为位置向量）．设 x 轴的单位向量为 i ，轴的单位向量为 j ．如果点 A 的坐标为（ x ， y ）,则OA  x  y

i j ，

将有序实数对（ x ， y ）叫做向量OA 的坐标．记作 OA=（ x ， y ）．

例 1 是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题．要强调此时起点的位置．让学生认识到，当向量的起点为坐标原点时，其终点的坐标就是向量的坐标．例 2 是关于“向量线性运算的坐标表示”的知识巩固性例题．要强调与公式的对应．在研究起点为坐标原点的向量的基础上，利用向量加法的三角形法则，介绍起点在任意位置的向量的坐标表示，向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量- 40 -的坐标，由此得到公式（7.8）.数值上可以简单记为：终点的坐标减去起点的坐标．例 3是关于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的巩固性例题．要强调“终点的坐标减去起点的坐标”．【教学备品】教学课件．【课时安排】

2 课时．(90 分钟)【教学过程】教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*揭示课题

7.2 平面向量的坐标表示*创设情境 兴趣导入【观察】

设平面直角坐标系中，x 轴的单位向量为 i, y 轴的单位向量为 j， OA 为从原点出发的向量，点 A 的坐标为（2，3）(图 7 －17)．则图 7－17OM  2i  ，ON  3

j ．

由平行四边形法则知

OA  OM  ON  2  3  i j ．【说明】

可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点的坐标是相同的．介绍质疑引导分析了解思考自我分析

从 实例 出发 使学 生自 然的 走向 知识点05

- 41 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*动脑思考 探索新知【新知识】

设 i, j 分别为 x 轴、y 轴的单位向量，

（1）设点 M (x, y) ，则  i + j  OM x y （如图 7－18(1)）；（2）设点 1 1 2 2 A(x , y )，B(x , y ) （如图 7－18(2)），则O i xj

M(x,y)y(1)j

iBAOyx(2)

图 7－182 2 1 12 1 2 1( ) ( )( ) ( )i + j i + j

i j       

   AB OB OA x y x yx x y y ．由此看到，对任一个平面向量 a，都存在着一对有序实数(x, y) ， 使得a  xi  yj ．

有序实数对 (x, y) 叫做向量 a 的坐标，记作a  (x, y) ．仔细分析讲解关键词语思考理解记忆引导式启发学生得出结果10

- 42 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

如图 7－17 所示，向量的坐标为  (2,3)  OA ．如图 7－18（1）所示，起点为原点，终点为 M (x, y) 的向量的坐标为 ( , )  OM x y ．

如图 7－18（2）所示，起点为 1 1 A(x , y )，终点为 2 2 B(x , y ) 的向量坐标为2 1 2 1  (   )  AB x x，y y ． （7．5）*巩固知识 典型例题例 1 如图 7－19 所示，用 x 轴与 y 轴上的单位向量 i、j表示向量 a、b, 并写出它们的坐标．解 因为a＝OM

 ＋

 MA ＝5i＋3j ，所以 a  (5,3) ．同理可得 b  (4,3) ．【想一想】观察图 7－19，

 OA与OM 的坐标之间存在什么关系？例 2 已知点 P(2,1)，Q(3, 2)，求  PQ，QP 的坐标．解  (3,2)  (2,1)  (1,3),  PQ图 7－19

说明强调引领讲解说明观察思考主动求解通 过例 题进 一步 领会- 43 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

 (2,1)  (3,2)  (1,3)  QP ．15*运用知识 强化练习

1． 点 A 的坐标为（－2，3），写出向量OA 的坐标，并用i 与 j 的线性组合表示向量OA ．

2． 设向量a  3i  4 j ,写出向量 a 的坐标．3． 已知 A，B 两点的坐标，求

  AB，BA 的坐标．(1) A(5,3), B(3,1);(2) A(1, 2), B(2,1);(3) A(4,0), B(0,3)．提问巡视指导思考口答及时了解学生知识掌握得情

况 20

*创设情境 兴趣导入【观察】观察图 7－20，向量

OA  (5,3) 

,OP  (3,0) , OM  OA  OP  (8,3)    ．可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和．图 7－20质疑

引导分析思考参与分析引 导启 发学 生思考27

*动脑思考 探索新知- 44 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

【新知识】

设平面直角坐标系中， 1 1 a  (x , y ) ， 2 2 b  (x , y ) ，则1 1 2 2 a  b  (x i  y j)  (x i  y j)1 2 1 2  (x  x )i  ( y  y ) j ．所以1 2 1 2 a  b  (x  x , y  y ) ． （7．6）类似可以得到

1 2 1 2 a  b  (x  x , y  y ) ． （7．7）1 1 a  (x , y ) ． （7．8）总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结35

*巩固知识 典型例题

例 3 设 a＝(1,−2), b＝(−2,3)，求下列向量的坐标：(1) a＋b ， (2) −3 a， (3) 3 a −2 b ．解 (1) a＋b＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1)(2) −3 a＝−3×(1, −2)＝(−3,6)(3) 3 a −2 b＝3×(1, −2) − 2×(−2,3)＝(3, −6) − (−4,6)＝(7, −12)．说明

强调引领讲解说明观察思考主动求解通 过例 题进 一步 领会45

*运用知识 强化练习

已知向量 a, b 的坐标，求 a＋b、 a −b、−2 a＋3 b 的坐标．（1） a＝(−2,3)， b＝(1,1)；（2） a＝(1,0)， b＝(−4, −3)；（3） a＝(−1,2)， b＝(3,0)．启发引导提问巡视思考了解动手求解及时了解学生知识掌握

- 45 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

指导 得情况 55

*创设情境 兴趣导入【问题】

前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量 a、b，当  0时，有a ∥b  a  b

如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？引导分析观察思考思考参与分析

引 导启 发学 生思考60

*动脑思考 探索新知【新知识】

设 1 1 2 2 a  (x , y ),b  (x , y ), 由 a  b ，有1 2 1 2 x  x , y   y , 于是 1 2  2 1 x  y x y ，即1 2 2 1 x y  x y  0 ．由此得到，对非零向量 a、 b，设 1 1 2 2 a  (x , y ),b  (x , y ), 当  0时，有

1 2 2 1 a ∥ b  x y  x y  0． （7．9）总结归纳仔细分析讲解思考归纳理解记忆带领学生总结67

*巩固知识 典型例题

例 4 设a  (1,3),b  (2,6) ，判断向量 a、 b 是否共线．解 由于 3×2−1×6＝0，故由公式（7．9）知， a ∥ b ，即向量 a、 b 共线．说明

强调引领分析观察思考通 过例 题进 一步 领- 46 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

讲解说明主动求解会70

*运用知识 强化练习判断下列各组向量是否共线：

（1） a＝(2,3)， b＝

(1，3

2

)；

(2) a=) 1，1 )、b=) 2，2 )；

(3) a=) 2，1 )，b=) 1，2 )。

启发

诱导

提问

巡视

指导

思考

理解

动手

求解

及时地

理解

学生

知识

把握

得到同情

条件75

理论升华整体的构建

想想看：

向量坐标的概念？

任意起点矢量的坐标表示？

共线矢量的坐标表示？

结论：

一般地，在平面正交坐标系中，将x轴单位矢量设为I、y轴

如果将单位向量设为j，则对于从原点出发任意的向量a有唯一的一对

根据实数x、y，将a xi yj .有序的实数对(x，y )称为向量a的座

标记，标记

a(x，y )。

矢量的坐标等于从原点到终点的矢量的坐标减去从原点到起点的值

点的向量的坐标。 针对非零矢量a、b，设22a(x，y )、b ) x、y )，为0时，

有一个

1221abxyxy0。

抱有疑问

归纳

强调

来不及回答

我明白了

学习学生

知识

把握

状况

80

*总结强化思想

- 47 -

教学问

过程

教师

行为

学生

行为

教学

意图

时间

伙伴

你在这次的课中学到了什么内容？ 重点和难点分别是什么？ 引导回忆

自我反省目标检查

这次课采用了什么样的学习方法？ 你是怎么学习的？

你的学习效果怎么样？

知道向量a、b的坐标，求出a b、a b、2a 3b的坐标

. a=(2，3 )，b=) 1，1 )；

提问

巡视

指导

反省

动手

求解

检查

学生

学习

效果

85

继续探索活动

(1)阅读部分)教材

)2)书面作业)教材习题7.2 A班(必做)； 7.2 B组(选择

做)

(3)实践调查：寻找生活中矢量坐标的实例

说明记录的分层

下次再说

寻求

90

【教师教育后记】

项目反思点

学生知识技能的掌握情况

学生是否真正理解知识

能否利用知识、技能解决问题；

知识、技能的掌握存在哪些问题；

学生的感情态度

学生是否参加有关活动

在数学活动中，是否认真、积极、自信；

遇到困难时，是否想通过自己的努力克服；

学生的思考状况

学生是否积极思考；

思维是否有秩序和灵活性

能否提出新的想法；

是否自觉反省；

学生合作交流的情况

学生是否善于与人合作

在交流中，是否表现得积极；

是否善于倾听别人的意见；

- 48 -

学生实践的情况

学生是否想开展实践

能否根据问题合理实践；

在实践中能否积极思考

能否有意识地反思实践过程的方方面面

本发明公开了一种7.3平面矢量内积

【教育目标】

知识目标：

(1)理解平面矢量内积的概念和几何意义；(2)理解平面矢量内积的计算公式。 为利用向量内积研究问题奠定基础。 能力目标：

通过实例引出向量内积的定义，培养学生的观察和归纳能力

【教育要点】

平面向量数量积的概念和计算公式

利用数量积的概念和数量积计算两个非零向量的夹角。

【教育设计】

教材从有人拉车工作出发，引入两个向量内积的概念，需要强调力和位移都是向量，

工作是数量。 因此，向量的内积也称为数量积。

谈论向量的内积时要注意：

)1)矢量的数量积不是矢量而是数量，其值为两矢量的模和两矢量所成的角的馀数

弦之积。 那个符号由夹角决定

)2)向量数量积的正确表示方法是用黑圈连接两个向量。 在教材中，利用定义得到内积这一性质，在以后的学习中经常会遇到。 其中：

(1)=0时，b=|a||； 当=180

时，ab=-|a||b|.可以记忆如下

如果是共线矢量，且方向相同，则内积为这两个矢量模的积，如果方向相反，则内积为这两个矢量模的积的积

反过来。

(2)|a|=a a表示矢量和矢量的模的关系，利用矢量的坐标计算矢量模

- 49 -

公式基础；

)3) cos=

|||

ab

a是得到使用两个向量的坐标计算两个向量所成的角的式子的基团

基础；

)4)“b=0a”常用于向量垂直问题的研究，给出两个向量内积坐标表示

的重要基础。

【教育用品】

教材。

【时间表】

两帧。

【教育过程】

教学问

过程

教师

行为

学生

行为

教学

意图

时间

伙伴

明确课题

7.3平面向量的内积

对方案的引进感兴趣

f

s

图7—21

30

o

如图7-21所示，在水平的地面上有车，有人有100 N的

力从水平线向30度角的方向拉动购物车，将购物车前进100度

m .那么，这个人做了多少工作？

介绍

抱有疑问

诱导

分析

理解

思考

自我

分析

从事实出发

出例题

打发使者

学习学生

自然地

你怎么走

向知

了解要点

0

5

开动脑筋探索新知识

【新知识】

我知道这个人工作等于力和向力的方向作用的距离

如图7-22所示，假设水平方向上的单位矢量为I，垂直

设方向的单位向量为j

总结

总结一下

思考引导

学生

- 50 -

教学问

度过

间

F  x i + y j  F sin 30  i  F cos30  j  ，

即力 F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为 s，即W＝｜F｜cos30·｜s｜＝100×23

·10＝500 3 （J）O i xj

F(x,y)y图 7－22

这里，力 F 与位移 s 都是向量，而功 W 是一个数量，它等于由两个向量 F，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量 F 与向量 s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．

如图 7－23，设有两

个非零向量 a, b，作 OA ＝a, OB

 ＝b,由射线 OA 与 OB 所形成的角叫做向量 a 与向量 b的夹角，记作．两个向量 a,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积，记作 a·b, 即a·b＝｜a||b|cos (7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作 W＝F·s.BAO

图 7－23ab

仔细分析讲解关键词语理解记忆分析引导式启发学生得出结果15

- 51 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

由内积的定义可知

a·0＝0, 0·a＝0．

由内积的定义可以得到下面几个重要结果：

（1） 当＝0 时，a·b＝|a||b|；当＝180时，a·b ＝−|a||b|. （2） cos＝| || |a  ba b

. （3） 当 b＝a 时，有＝0，所以 a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝ a  a . （4） 当  a,b  90 时 ， a  b ， 因 此 ， a · b ＝a  b cos90  0,  因此对非零向量 a，b，有a·b＝0 a b. 可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1） a·b＝b·a．（2） (a )·b＝ (a·b)＝a·( b)．（3） (a＋b)·c＝a·c＋b·c．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即

a·(b·c)≠（a·b）·c. 请结合实例进行验证.总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析反 复强调

30

*巩固知识 典型例题

例 1 已知|a|＝3,|b|＝2, ＝ 60,求 a·b．解 a·b＝|a||b| cos ＝3×2×cos 60＝3．例 2 已知|a|＝|b|＝ 2 ,a·b＝  2 ,求．解 cos＝| || |a  ba b ＝2 2

2

 

＝− 22

. 由于 0≤≤180，说明强调引领思考主动求解注意观察学生是否理解知识点 40

- 52 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

所以 ＝135 ．*运用知识 强化练习

1. 已知|a|＝7，|b|＝4，a 和 b 的夹角为 60，求 a·b．2. 已知 a·a＝9,求|a|．3. 已知|a|＝2,|b|＝3, ＝30，求(2a＋b)·b．提问巡视指导思考口答及时了解学生知识掌握得情

况 45

*动脑思考 探索新知

设平面向量 a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j 分别为 x 轴，y 轴上的单位向量，由于 i⊥j，故 i·j ＝0，又| i |＝|j|＝1，所以

a·b＝(x1 i＋y1j)· (x2 i＋y2j) ＝ x1 x2 i •i＋ x1 y2 i •j＋ x2 y1 i •j ＋ y1 y2 j •j ＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2 ＝ x1 x2＋ y1 y2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即

a·b＝ x1 x2＋ y1 y2 (7.11)利用公式(7．11)可以计算向量的模．设 a＝(x,y)，则a  aa 2 2

x  y ，即a 2 2

x  y (7.12)

由平面向量内积的定义可以得到，当 a、b 是非零向量时，cos＝ | || |a  b

a b ＝ 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2x x y yx y x y 

. (7.13)

利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角. 由于 a b a·b＝0，由公式(7.11)可知a·b＝0 x1 x2＋ y1 y2＝0．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结

- 53 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

因此

a b x1 x2＋ y1 y2＝0． (7.14)利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题．60

*巩固知识 典型例题例 3 求下列向量的内积：

（1） a＝ (2,−3), b＝(1,3)；（2） a＝ (2, −1), b＝(1,2)；（3） a＝ (4,2), b＝(−2, −3)．解 (1) a·b＝2×1＋(−3)×3＝−7；(2) a·b＝2×1＋(−1)×2＝0；(3) a·b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．例 4 已知 a＝(−1,2),b＝(−3,1).求 a·b, |a|,|b|, ．解 a·b＝(−1)( −3)＋2×1＝5；

|a|＝ 2 2 a  a  (1)  2  5 ；|b|＝ 2 2 b  b  (3) 1  10 ；cos＝| || |a  ba b ＝5 2

10 5 2  ，所以 ＝ 45 ．

例 5 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a＝(−2, 3), b＝(6, 4)；(2) a＝(0, −1), b＝(1, −2)．解 (1) 因为 a·b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以 a b．(2) 因为 a·b＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以 a 与 b 不垂直．说明强调引领讲解说明引领分析强调含义说明观察思考主动求解观察思考求解领会思考求解讲解说明注意观察学生是否理解知识点反复强调70

*运用知识 强化练习

1． 已知 a＝(5, −4)，b＝(2,3)，求 a·b．- 54 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

2． 已知 a＝(1, 3 )，b＝(0, 3 )，求．

3． 已知 a＝(2, −3)，b＝(3,－4)，c＝(−1,3),求 a·(b＋c)．4. 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a＝(−2, −3)，b＝(3, −2)； (2) a＝(2,0)，b＝(0, −3)；(3) a＝(−2,1)，b＝(3,4)．5. 求下列向量的模：

(1) a＝(2, −3)， (2) b＝(8, 6 )．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解及时了解学生知识掌握得情况80

*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?结论：

两个向量 a,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积，记作 a·b, 即

a·b＝｜a||b|cos (7.10)a·b 的几何意义就是向量 a 的模与向量 b 在向量 a 上的投影的乘积．质疑

归 纳强调回答

及 时了 解学 生知 识掌 握情况83

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导 回忆*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知 a＝(5, − 4),b＝(2,3),求 a·b．

2.已知 a＝(2, −3),b＝(3, −4),c＝(−1,3),求 a·(b＋c)．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果88

*继续探索 活动探究(1)读书部分：阅读教材

(2)书面作业：教材习题 7.3 A 组（必做）；7.3 B 组（选说明 记录 分 层次 要

- 55 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

做）

(3)实践调查：编写一道向量内积问题并解答．求90

【教师教学后记】项目 反思点

学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；

在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况

学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】8．1 两点间的距离与线段中点的坐标【教学目标】知识目标：

掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；能力目标：- 56 -

用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力．【教学重点】两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用【教学难点】

两点间的距离公式的理解【教学设计】

两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上．例 1 是巩固性练习题．题目中，两个点的坐标既有正数，又有负数．讲授时，要强调两点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况．例 2 是中点公式的知识巩固题目．通过连续使用公式（8.2），强化学生对公式的理解与运用．例 3 是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用．要突出 “解析法”，进行数学思维培养．【教学备品】教学课件．【课时安排】

2 课时．(90 分钟)【教学过程】教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*揭示课题

8．1 两点间的距离与线段中点的坐标*创设情境 兴趣导入【知识回顾】

平面直角坐标系中，设 1 1 1 P(x , y ) ， 2 2 2 P (x , y ) ，则1 2 2 1 2 1  (  ,  )  PP x x y y ．介绍质疑引导了解

思考 启发学 生思考0

- 57 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

专科是大专吗

我们将向量 1 2  PP 的模，叫做点 P1、P2 之间的距离，记作P1P2 ，则2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

| |   (  )  (  )    PP PP PP PP x x y y（8．1）总结归纳思考记忆带领学生分析25

*巩固知识 典型例题

例 1 求 A（−3，1）、B（2，−5）两点间的距离．解 A、B 两点间的距离为 2 2

| AB | (3  2)  1 (5)  61第 1 题图说明强调引领讲解说明观察思考主动求解

通 过例 题进 一步 领会30

*运用知识 强化练习

1．请根据图形，写出 M、N、P、Q、R 各点的坐标．

2．在平面直角坐标系内，描出下列各点： A(1,1)、B(3,4) 、 C(5,7)．并计算每两点之间的距离．提问巡视指导思考口答反复强调38

*创设情境 兴趣导入【观察】质疑 思考- 58 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

练习 8．1．1 第 2 题的计算结果显示，1

| | | | | | 2AB  BC  AC ．这说明点 B 是线段 AB 的中点，而它们三个点的坐标之间恰好存在关系1 53

2

 ，1 742

 引导分析参与分析

引 导启 发学 生思考43

*动脑思考 探索新知【新知识】

设线段的两个端点分别为 1 1 A(x , y ) 和 2 2 B(x , y )，线段的

中点为 0 0 M (x , y ) （如图 8－1），则 0 1 0 1  (  ,  ),  AM x x y y

2 0 2 0  (  ,  ),  MB x x y y 由 于 M 为 线 段 AB 的 中 点 ， 则  ,   AM MB 即 0 1 0 1 2 0 2 0(x  x , y  y )  (x  x , y  y )， 即0 1 2 00 1 2 0,

,        x x x xy y y y解得 1 2 1 20 0

, 2 2  

x x y yx y ．yO x

A(x1, y1)M(x0, y0)B(x2, y2)

图 8－1 一般地，设 1 1 1 P(x , y ) 、 2 2 2 P (x , y ) 为平面内任意两点，则线段 P1 P2 中点 0 0 0 P (x , y ) 的坐标为1 2 1 20 0

, . 2 2x x y yx y 

  （8．2）总结

归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结52- 59 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*巩固知识 典型例题

例 2 已知点 S（0，2）、点 T（−6，−1），现将线段 ST 四等分，试求出各分点的坐标．

分析 如图 8－2 所示，首先求出线段 ST 的中点 Q 的坐标，然后再求 SQ 的中点 P 及 QT 的中点 R 的坐标．解 设线段 ST 的中点 Q 的坐标为 ( , ) Q Qx y ，则由点 S（0，2）、点 T（−6，−1）得0 ( 6) 3

2Qx 

   ，2 ( 1) 12 2Qy

 

  ．

即线段 ST 的中点为Q 13, 2（ ）．

同理，求出线段 SQ 的中点 P 3 5, 2 4（ ），线段 QT 的中点9 1, 2 4R（  ）．故所求的分点分别为 P 3 5, 2 4（ ）、Q 13, 2（ ）、9 1, 2 4R（  ）．

例 3 已知 ABC 的三个顶点为 A(1,0) 、B(2,1) 、C(0,3) ，试求 BC 边上的中线 AD 的长度．解 设 BC 的中点 D 的坐标为 ( , ) D Dx y ，则由 B(2,1) 、 C(0,3) 得( 2) 012D

x     ，1 322Dy

  ，故 2 2

| AD | (11)  (2  0)  2 2, 即 BC 边上的中线 AD 的长度为 2 2 ．图 8－2说明强调引领讲解说明引领分析说明观察思考主动求解观察思考求解

通 过例 题进 一步 领会注意观察学生是否理解知识点65

*运用知识 强化练习- 60 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

1．已知点 A(2,3) 和点 B(8,3) ，求线段 AB 中点的坐标．2．已知 ABC 的三个顶点为 A(2,2) 、B(4,6) 、C(3,2) ，求 AB 边上的中线 CD 的长度．3．已知点Q(4,n) 是点 P(m,2) 和点 R(3,8) 连线的中点，求m 与 n 的值．

启发引导提问巡视指导思考了解动手求解进 一步 领会 知识点

75

*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：两点间的距离公式、线段的中点坐标公式？结论：

设平面直角坐标系内任意两点 1 1 1 P(x , y ) 、 2 2 2 P (x , y ) ，则 1 1 1 P(x , y ) 、 2 2 2 P (x , y ) 的距离为（证明略）2 21 2 2 1 2 1

| PP | (x  x )  ( y  y ) ．

设 1 1 1 P(x , y ) 、 2 2 2 P (x , y ) 为平面内任意两点，则线段 P1 P2中点 0 0 0 P (x , y ) 的坐标为1 2 1 20 0

, . 2 2x x y yx y  质疑

归 纳强调

回答 及 时了 解学 生知 识掌 握情况80

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导 回忆*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？

已知点 M (0,2) ，点 N(2,2) ，求线段 MN 的长度，并写出线段 MN 的中点 P 的坐标．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果86

*继续探索 活动探究

(1)读书部分：教材 说明 记录 分 层- 61 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

(2)书面作业：教材习题 8．1 A 组（必做）；教材习题 8．1B 组（选做）(3)实践调查：编写一道关于求中点坐标的问题并求解．次 要求

90

【教师教学后记】项目 反思点

学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；

在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况

学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】8．2 直线的方程（二）【教学目标】知识目标：- 62 -

（1）了解直线与方程的关系；

（2）掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，理解直线的一般式方程．能力目标：培养学生解决问题的能力与计算能力．【教学重点】

直线方程的点斜式、斜截式方程．【教学难点】

根据已知条件，选择直线方程的适当形式求直线方程．【教学设计】

采用“问题——分析——联系方程”的步骤，从学生熟知的一次函数图像入手，分析图像上的坐标与函数解析式的关系，把函数的解析式看作方程，图像是具有某种特征的平面点集（轨迹）．很自然地建立直线和方程的关系，把函数的解析式看作方程是理解概念的关键．导出直线的点斜式方程过程，是从直线与方程的关系中的两个方面进行的．首先是直线上的任意一点的坐标都是方程的解，然后是以方程的解为坐标的点一定在这条直线上．直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例．直线的斜截式方程与一次函数的解析式具有相同的形式．要强调公式中b 的意义．直线的一般式方程的介绍，分两个层次来处理也是唯一的．首先，以问题的形式提出前面介绍的两种直线方程都可以化成一般的二元一次方程的形式．然后按照二元一次方程Ax  By  C  0 的系数的不同取值，进行讨论．对 Cy B  与 Cx

A

  只是数形结合的进行说明．这种方式比较适合学生的认知特征．【教学备品】教学课件．【课时安排】

2 课时．(90 分钟)【教学过程】教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*揭示课题

8．2 直线的方程（二）*创设情境 兴趣导入【问题】

我们知道，方程 x  y 1 0 的图像是一条直线，那么方程介绍质疑引导了解

思考 启发学 生思考0

- 63 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

的解与直线上的点之间存在着怎样的关系呢？ 分析5*动脑思考 探索新知【新知识】

已知直线的倾角为 45

 ，并且经过点 0 P (0,1) ，由此可以确

定一条直线 l．设点 P(x, y) 为直线 l 上不与点 0 P (0,1) 重合的任意一点（图 8－6）．图 8－61

tan 450 

 ykx ，

即 x  y 1 0 ．

这说明直线上任意一点的坐标都是方程 x  y 1 0 的解．

设 点 1 1 1 P(x , y ) 的 坐 标 为 方 程 x  y 1 0 的 解 ， 即1 1 x  y 1  0，则111

tan 450 

y  kx ，

已知直线的倾角为 45

 ，并且经过点 0 P (0,1) ，只可以确定

一条直线 l．这说明点 1 1 1 P(x , y ) 在经过点 0 P (0,1) 且倾角为 45 的直线上．讲解说明引领分析思考理解带领学生分析

- 64 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

一般地，如果直线（或曲线）L 与方程 F(x, y)  0 满足下列关系：

⑴ 直 线 （ 或 曲 线 ） L 上 的 点 的 坐 标 都 是 二 元 方 程F(x, y)  0 的解；⑵ 以方程 F(x, y)  0 的解为坐标的点都在直线（或曲线）L 上．

那么，直线（或曲线） L 叫做二元方程 F(x, y)  0 的直线（或曲线），方程 F(x, y)  0 叫做直线（或曲线） L 的方程. 记作曲线 L : F(x, y)  0 或者曲线 F(x, y)  0 ．例 如 ， 直 线 l 的 方 程 为 x  y 1 0 ， 可 以 记 作 直 线l : x  y 1  0 ，也可以记作直线 x  y 1 0 ．下面求经过点 0 0 0 P (x , y ) ，且斜率为 k 的直线 l 的方程（如图 8－7）．图 8－7

在直线 l 上任取点 P(x, y)（不同于 P0 点），由斜率公式可得 00

y yk

x x ，

即 0 0 y  y  k (x  x ) ．

显然，点 0 0 0 P (x , y ) 的坐标也满足上面的方程．仔细分析讲解关键词语思考理解引导式启发学生得出结果

- 65 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

方程

0 0 y  y  k (x  x ) ， （8．4）

叫做直线的点斜式方程．其中点 0 0 0 P (x , y ) 为直线上的点，k 为直线的斜率．【说明】

当直线经过点 0 0 0 P (x , y ) 且斜率不存在时，直线的倾角为90°，此时直线与 x 轴垂直，直线上所有的点横坐标都是 0 x ，因此其方程为 0 x  x ．记忆20

*巩固知识 典型例题

例 2 在下列各条件下，分别求出直线的方程：（1）直线经过点 0 P (1,2) ，倾角为 45 ；（2）直线经过点 1P(3,2) ， 2 P (1,1)．解 （1）由于  45  ，故斜率为

 tan  tan 45 1 k  ，

又因为直线经过点 0 P (1,2) ，所以直线方程为y  2 1(x 1) ，即 x  y 1 0 ．

（2）直线过点 1P (3,2) ， 2P (1,1) ，由斜率公式得1 2 31 3 4

k     ．故直线的方程为说明

强调引领讲解说明引领观察思考主动求解思考通 过例 题进 一步 领会

注意观察学生

- 66 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间3

2 ( 3) 4y   x  ，即 3x  4y 1  0 ．【想一想】例 2（2）题中，如果利用点 2P (1,1) 和3

4

k  写出的直线

方程，结果是否一样，为什么？讲解说明主动求解是否理解知识点30

*动脑思考 探索新知【新知识】

如图 8－8 所示，设直线 l 与 x 轴交于点 A(a,0) ，与 y 轴交于点 B(0,b) ．则 a 叫做直线 l 在 x 轴上的截距（或横截距）；b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距（或纵截距）．【想一想】

直线在 x 轴及 y 轴上的截距有可能是负数吗？图 8－8【新知识】

设直线在 y 轴上的截距是 b，即直线经过点 B(0,b) ，且斜率为 k ．则这条直线的方程为y  b  k(x  0) ，总结

归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结- 67 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

即 y  kx  b ．方程y  kx  b （8．5）

叫做直线的斜截式方程．其中 k 为直线的斜率，b 为直线在 y轴的截距．40

*巩固知识 典型例题

例 3 设直线 l 的倾角为 60°，并且经过点 P（2，3）．（1）写出直线 l 的方程；（2）求直线 l 在 y 轴的截距．

解 （1）由于直线 l 的倾角为 60°，故其斜率为k  tan 60  3 ．

又直线经过点 P（2，3），由公式(8.4)得知直线的方程为y  3  3(x  2) ．（2）将上面的方程整理为

y  3x  2 3  3 ．

这是直线的斜截式方程，由公式(8.4)知直线 l 的在 y 轴的截距为3  2 3 ．【想一想】

例 3（2）中，求直线在 y 轴的截距还有其他的方法吗？引领分析讲解说明观察思考主动求解

通 过例 题进 一步 领会50

*运用知识 强化练习1．作出12

y  x 的图像，并判断点 P(2,3) 、Q(4,2) 是否为图像- 68 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

中的点．

2．设点 P(a,1) 在直线3x  y  5  0 上，求 a 的值．3．根据下列各直线满足的条件，写出直线的方程：（1）过点(5,2) ，斜率为 3； （2）在 y 轴上的截距为 5，斜率为 4．

4．分别求出直线 y 8  5(x 1) 在 x 轴及 y 轴上的截距．提问巡视指导思考求解及时了解学生知识掌握得情况

60

*创设情境 兴趣导入【问题】

0 0 y  y  k (x  x ) 可 化 为 0 0 kx  y  y  kx  0 ；y  kx  b 可化为 kx  y  b  0，由此看到，直线的点斜式方程 与 斜 截 式 方 程 都 可 化 为 二 元 一 次 方 程 的 一般形式axbyc0。那么一般形式的二元一次方程呢axbyc0是直线方程式吗？抱有疑问

诱导分析思考参加分析里德启动学习学生思考

65

开动脑筋探索新知识【新知识】

(1) a0，b0时，二元一次方程式axbyc0可以变为A Cy x

b ) b.倾斜度AKB

、纵向切片CbB的直线线。

)2)当a0，b0时，方程为cyb，表示通过点0，CPB

且平行于x轴的直线(图8-9 )。总结总结一下思考

总结一下率领学生

- 69 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴(3) a0，b0时，方程式为cxA

表示经过点、0 CPA

且平行于y轴的直线(图8-10 )。

因此，二元一次方程式axbyc0(其中，a、b不是全部零)表示一条直线。图8-9图8-10方程式

axbyc0(其中，a、b均为非零) (8.6 ) ) ) ) )。被称为直线的一般公式。仔细地分析

解释

关键点单词

理解记忆总结72

巩固知识的典型例题例4求方程式1

2 )1) 2yx为直线的通式方程式，分别为求出这条直线在x轴和y轴上的截距。解放自由1

2 )2) 2yx得3x2y60。

这就是直线的一般公式。 如果在方程式中设y0，则x2为，因此，直线在x轴上的截距为2； 假设为x0，则为y3，所以直线为y轴上的截距为3。说明强调领先解释说明观察思考

自发地求解通过例题进一步行街能做到

- 70 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴【说明】

在本教材中，如果没有特别说明的话，结果直线的方程式都是要求写通式方程式. 74运用知识加强练习

1 .将以下线性方程化为一般方程：(1) ) ) )。122

yx； (2) ) ) )。32 )1) 4yx。

已知ABC的三个顶点分别为a (3，0 )、b )、1 )、c )、2、3 )，求出AC边上的中心线所在的直线的方程式。启发诱导提问巡视指导思考理解动手求解好的交给学生自我发现

总结78

理论升华整体的构建想想看：

直线的点斜式方程式、斜切式方程式、通式方程式？结论：方程0yyk(xx )被称为直线点斜式方程

中点0的0p(x，y )是直线上的点，k是直线的倾斜度。方程y kx b被称为直线的斜交方式距离。 其中，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。方程式axbyc0(这里，a、b不全是零)称为直线的通式。抱有疑问归纳

强调

来不及回答我明白了学习学生知识把握状况82

*总结强化思想

你在这次的课中学到了什么内容？ 重点和难点分别是什么？引导回忆85

- 71 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴自我反省目标检查

这次课采用了什么样的学习方法？ 你是怎么学习的？你的学习效果怎么样？求出直线x2y80在x轴、y轴上的截距及倾斜。提问巡视指导反省动手求解检查学生学习效果87继续探索活动

(1)阅读部分)教材

)2)书面作业)教材习题8.2 A班(必须进行)； 8.2 B组(选择做)(3)实践调查：建立并求解直线方程相关问题说明记录的分层下次再说寻求

90

【教师教育后记】项目反思点

学生知识技能的掌握情况学生是否真正理解知识

能否利用知识、技能解决问题；知识、技能的掌握存在哪些问题；学生的感情态度学生是否参加有关活动

在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否想通过自己的努力克服；学生的思考状况

学生是否积极思考；思维是否有秩序和灵活性能否提出新的想法；是否自觉反省；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作在交流中，是否表现得积极；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否想开展实践能否根据问题合理实践；- 72 -

在实践中能否积极思考

能否有意识地反思实践过程的方方面面

【课题】8.3直线的位置关系(2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )。【教育目标】知识目标：

(1)掌握两条直线平行的条件。

)2)可以应用点到直线的距离公式来解决问题。能力目标：培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．【教学重点】两条直线的位置关系，点到直线的距离公式．【教学难点】

两条直线的位置关系的判断及应用．【教学设计】

与倾角的定义相类似，本教材将两条直线夹角的定义建立在任意角定义的基础上．两条直线相交所形成的最小正角叫做这两条直线的夹角．同时规定，两条直线平行或重合时两条直线的夹角为零角，这样两条直线的夹角的范围是 0,90   ．

教材采用“数形结合”、“看图说话”的方法，导入两条直线垂直的条件，过程简单易懂．两条直线垂直的实质就是这两条直线的夹角为90 ．运用垂直条件时，要注意斜率不存在的情况．

例 4 是巩固性题目．属于基础性题．首先将直线的方程化为斜截式方程，再根据斜率判断两条直线垂直是本套教材判断两条直线垂直的主要方法．

例 5 是利用垂直条件求直线的方程的题目，属于基础性题．首先利用垂直条件求出直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后将方程化为一般式方程．这一系列解题程序，蕴含着“解析法”的思想方法．需要强调，点到直线的距离公式中的直线方程必须是一般式方程．【教学备品】

教学课件．- 73 -【课时安排】2 课时．(90 分钟)【教学过程】教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*揭示课题

8．3 两条直线的位置关系（二）*创设情境 兴趣导入【问题】

平面内两条既不重合又不平行的直线肯定相交．如何求交点的坐标呢？图 8－12介绍

质疑引导分析了解思考启发学 生思考

05

*动脑思考 探索新知

如图 8－12 所示，两条相交直线的交点 P0 ，既在 1l 上，又在 2

l 上．所以 P0 的坐标 0 0 (x , y ) 是两条直线的方程的公共解．因此解两条直线的方程所组成的方程组，就可以得到两条直线交点的坐标．

观察图 8－13，直线 1

l 、 2l 相交于点 P，如果不研究终边

相同的角，共形成四个正角，分别为1 、 2 、3、 4 ，其中讲解说明

思考 带领学生分析

- 74 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

1 与3， 2 与 4 为对顶角，而且 01+ 2   180 ．图 8－13

我们把两条直线相交所成的最小正角叫做这两条直线的夹角，记作 ．

规定，当两条直线平行或重合时，两条直线的夹角为零角，因此，两条直线夹角的取值范围为 90 ] [0, ．显然，在图 8－13 中，1 （或3）是直线 1l 、 2l 的夹角，

即  1．当直线 1

l 与直线 2l 的夹角为直角时称直线 1l 与直线 2l 垂直，记做 1 2l  l ．观察图 8－14，显然，平行于 x 轴的直线 1l 与平行于 y 轴的直线 2l 垂直，即斜率为零的直线与斜率不存在的直线垂直．

图 8－14讲解

说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解思考带领学生分析引导式启发学生得出结果 20

- 75 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

理解记忆

*创设情境 兴趣导入【问题】

如果两条直线的斜率都存在且不为零，如何判断这两条直线垂直呢？质疑 思考带领

学生分析25

*动脑思考 探索新知【新知识】设直线 1

l 与直线 2l 的斜率分别为 1k 和 2 k （如图 8－15），若1 2l  l ，则2

l 1l

8－151 1tanBCk

AB

   ，

2 2 3 3  tan  tan(  )  tan   ABk

BC

 180   ．

即 1 2 k  k  1．

上面的过程可以逆推，即若 1 2 k  k  1，则 1 2l  l ．由此得到结论（两条直线垂直的条件）：（1）如果直线 1

l 与直线 2l 的斜率都存在且不等于 0，那么1 2

l  l  1 2 k  k  1．（2）斜率不存在的直线与斜率为 0 的直线垂直．讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果 35

- 76 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*巩固知识 典型例题

例 3 求直线 x  2y 1  0 与直线 y  x  2 交点的坐标．解 解方程组2 1 0, 2 0, x yx y

   

    得1,1, xy

 

   所以两条直线的交点坐标为 (1,1) ．【试一试】

已知直线 3x  4y  a 与直线 2x  5y 10 的交点在 x 轴上，你是否能确定 a 的值，并求出交点的坐标？例 4 判断直线2

3

y  x 与直线 6x  4y 1  0 是否垂直．解 设直线23

y  x 的斜率为 1k ，则123

k  ．

直线 6x  4y 1  0 的斜率为 2 k ．由 6x  4y 1  0 有3 12 4

y   x  ，故232

k   ．

由于 1 2 k k  1,所以 1l 与 2l 垂直．【试一试】

请你判断，直线 x  2y 1  0 与直线 x  y  1是否垂直？【知识巩固】说明强调引领讲解说明说明强调引领讲解说明观察思考主动求解观察思考主动求解通 过例 题进 一步 领会

通 过例 题进 一步 领会- 77 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

例 5 已 知 直 线 l 经 过 点 M (2,1) ， 且 垂 直 于 直 线2x  y 1  0，求直线l 方程．解 设直线 2x  y 1  0的斜率为 1k ，则 1k  2 ．设直线l 的斜率为 k ．由于 1 2l  l ，故 1k k  1，即2k  1，

由此得12

k  ．

又直线l 过点 M (2,1) ，故其方程为1

1 ( 2) 2y   x  ，即 x – 2y – 4 = 0．引领讲解说明思考主动求解注意观察学生是否理解知识点

45

*运用知识 强化练习

1．判断下列各对直线是否相交，若相交，求出交点坐标：（1） 1

l : x  2y  0，与 2l : 2x  y 1  0 ；（2） 1l : y  x 1，与 2l : x  y  4  0 ；（3） 1l :  3x  2y ，与 24

: 13

l y  x  ．

2. 已 知 直 线 l 经 过 点 M (2,2) ， 且 垂 直 于 直 线x  y  2  0 ，求直线l 方程．提问巡视指导思考求解及时了解学生知识掌握得情况

50

*创设情境 兴趣导入【问题】

观察图 8－16，过点 P0作直线l 的垂线，垂足为 Q，称线段 P0Q的长度为点 P0到直线l 的距离，记作 d．如何求出一个已知点到一条已知直线的距离呢？质疑思考启发

学 生

- 78 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

图 8－16引导分析

思考 55

*动脑思考 探索新知【新知识】

可 以 证 明 （ 证 明 略 ）， 点 P0 0 0(x , y ) 到 直 线 l ：Ax  By  C  0 的距离公式为0 0

2 2

Ax By CdA B 

 （8．7）【注意】

应用公式（8.7）时，直线的方程必须是一般式方程．总结归纳理解记忆带领学生总结58

*巩固知识 典型例题

例 6 求点 0P (2,3) 到直线12

y  x  的距离．

分析 求点到直线的距离时，首先要检查直线方程是否为一般式方程，若不是，则应先将直线的方程化为一般式方程，然后利用公式（8.7）进行计算．解 直线方程1

2

y  x  化成一般式方程为2x  2y 1  0 ．由公式（8.6）有2 2

2 2 2 ( 3) 1 3 24 2 2d

      ．

例 7 试求两条平行直线 3x  4y  0 与 3x  4y 1  0 之间的距离．引领讲解说明思考主动

求解 通 过例 题进 一步 领会- 79 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

分析 由平面几何的知识知道，两条平行线间的距离，是其中一条直线上的任意一个点到另一条直线的距离．为运算方便，尽量选择坐标的数值比较简单的点．解 点 O(0,0) 是直线 3x  4y  0 上的点，点 O 到直线3x  4y 1  0 的距离为2 21 1

5 3 4d  

, 故这两条平行直线之间的距离为15 ．

*例 8 设△ABC 的顶点坐标为 A(6,3)、B(0,1)、C(1,1) ，求三角形的面积 S ．分析 如图 8－17 所示，首先求出任意一条边的边长及直线的方程，然后求出这条边上的高，再利用面积公式进行计算．图 8－17解 由点 A(6,3) 、 B(0,1) 可得

2 2 AB  (6  0)  (3 1)  2 13 ，直线 AB 的斜率为1 3 20 6 3

k    ，直线 AB 的方程为2

( 1) ( 0) 3y    x  ，即 2x  3y  3  0 ，又 AB 边上的高为点 C 到直线 AB 的距离引领讲解说明说明强调引领分析思考主动求解观察思考主动求解注意观察学生是否理解

- 80 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

2 2

2 ( 1) 3 1 3 82 3 13d

      ．

故三角形面积为1 82 13 82 13

S     ．【试一试】用其他的边求 ABC 的面积．知识点

68

*运用知识 强化练习

根据下列条件求点 P0到直线l 的距离：

（1） 0P (1,0) ，直线 4x  3y 1  0 ；（2） 0P (2,1) ，直线 2x  3y  0 ；（3） 0P (2,3) ，直线1 32 2

y  x  . 提问巡视

指导思考求解及时了解学生知识掌握得情况73

*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：两条直线垂直的条件？点到直线的距离公式？结论：两条直线垂直的条件：（1）如果直线 1

l 与直线 2l 的斜率都存在且不等于 0，那么1 2

l  l  1 2 k  k  1．（2）斜率不存在的直线与斜率为 0 的直线垂直．点 P0 0 0(x , y ) 到直线l ： Ax  By  C  0 的距离公式为0 02 2

Ax By CdA B 

质疑

归 纳强调回答

及 时了 解学 生知 识掌 握情况78

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导 回忆83

- 81 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果88

*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题 8.3 A 组（必做）；8.3 B 组（选做）(3)实践调查：编写一道两条平行直线的距离的问题并求解说明 记录 分 层次 要

求

90

【教师教学后记】项目 反思点

学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；

在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况

学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；- 82 -

能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】8．4 圆（一）【教学目标】知识目标：

（1）了解圆的定义；

（2）掌握圆的标准方程和一般方程．能力目标：培养学生解决问题的能力与计算能力．【教学重点】圆的标准方程和一般方程的理解与应用．【教学难点】对圆的标准方程和一般方程的正确认识．【教学设计】

用“解析法”推导圆的标准方程的过程，学生比较容易掌握，可以引导学生自己完成．要强 化 对 圆 的 标 准 方程    2 2 2 x  a  y  b  r 的 认 识 ， 其 中 半 径为 r ， 圆 心 坐 标 为Oa,b ．经常容易发生错误的地方是认为半径是2

r ，圆心坐标为Oa,b ．教学中应予以强调，反复强化．

例 1 和例 2 是圆的标准方程的知识巩固性题目，属于基础性题目．可以由学生自己完成．通过例题，进一步熟悉圆的标准方程．

再介绍圆的一般方程时，教材首先将圆的标准方程展开，分析系数特点，然后将方程配方成圆的标准方程．这一系列的过程，不但介绍圆的一般方程及其与标准方程的联系，还显示出用代数的方法研究几何问题的魅力．例 3 是圆的方程巩固性题目．题中的两种解法，都是经常使用的方法．特别是解法 1，通常采用配方法，将方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径．这类题目的训练，有助于学生数学运算能力的提高．求圆的方程，基本有两种基本方法．一种是根据已知条件求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程，例 4 就是这种类型的基础性题目；另一种是，设出圆的方程，然后，利用待定系数法确定相应的常数，例 5 就是这种类型的基础性题目．【教学备品】教学课件．- 83 -【课时安排】

2 课时．(90 分钟)【教学过程】教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*揭示课题

8．4 圆（一）*创设情境 兴趣导入【知识回顾】

圆是平面内到定点的距离为定长的点的轨迹，定点叫做圆心，定长叫做半径．如图 8－18 所示，将圆规的两只脚张开一定的角度后，把其中一只脚放在固定点 O，另一只脚紧贴点所在平面上，然后转动圆规一周（圆规的两只脚张开的角度不变），画出的图形就是圆．图 8－18【说明】

圆心和半径是圆的两个要素．介绍质疑引导分析了解思考启发学 生思考

0

10

*动脑思考 探索新知【新知识】

下面我们在直角坐标系中研究圆的方程．讲解说明思考

- 84 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

图 8－19

设圆心的坐标为C(a,b) ，半径为 r，点 M (x, y) 为圆上的任意一点（如图 8－19），则MC  r ，

由公式（8.1），得 2 2

(x  a)  ( y  b)  r ，将上式两边平方，得2 2 2

(x  a)  ( y  b)  r （8．8）这个方程叫做以点C(a,b) 为圆心，以 r 为半径的圆的标准方程．特别地，当圆心为坐标原点O(0,0) 时，半径为 r 的圆的标准方程为

2 2 2

x  y  r （8．9）引领分析理解记忆带领学生分析25*巩固知识 典型例题

例 1 求以点C(2,0) 为圆心， r  3 为半径的圆的标准方程．解 因为 a  2, b  0, r  3 , 故所求圆的标准方程为2 2(x  2)  y  9 ．例 2 写出圆 2 2

(x  2)  ( y 1)  5 的圆心的坐标及半径．解 方程 2 2(x  2)  ( y 1)  5说明

强调引领观察思考

通 过例 题进 一步 领- 85 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

可化为  2 2 2

(x  2)  y  (1)  ( 5) ，所以 a  2, b  1, r  5 ，故，圆心的坐标为C(2,1) ，半径为 r  5 ．【说明】使用公式（8.8）求圆心的坐标时，要注意公式中两个括号内都是“－”号．

讲解说明主动求解会30

*运用知识 强化练习

1．根据下面条件，求出圆的标准方程，并画出图形．（1）圆心C(1,2) ，半径 r  2；（2）圆心C(0,3) ，半径 r  3 ．2．根据下列圆的标准方程，分别求出圆心的坐标与半径，并画出图形．（1） 2 2

(x 1)  y  4 ；（2） 2 2x  (y  2)  3 ．提问巡视指导思考求解及时了解学生知识掌握得情况 35

*创设情境 兴趣导入【观察】将圆的标准方程 2 2 2

(x  a)  ( y  b)  r 展开并整理，可得2 2 2 2 2

x  y  (2a)x  (2b)y  (a  b  r )  0 . 令 D  2a ， E  2b ， 2 2 2 F  a  b  r ， 则2 2x  y  Dx  Ey  F  0． （1）这是一个二元二次方程．观察方程（1），可以发现它具有下列特点：

⑴ 含 2 x 项的系数与含 2y 项的系数都是 1；⑵ 方程不含 xy 项．

那么，具有这两个特点的二元二次方程一定是圆的方程吗？质疑引导分析

思考 启发学 生思考40

- 86 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*动脑思考 探索新知将方程（1）配方整理得2 2 2 2 42 2 4D E D E Fx y

     

          , （2）

当 2 2 D  E  4F  0 时，方程（2）为是圆的标准方程，其圆心在( , ) 2 2D E

  ，半径为2 2 42

D  E  F ．方程2 2

x  y  Dx  E y  F  0 （ 其 中 2 2 D  E  4F  0 ）（8．10）叫做圆的一般方程．其中 D、E、F 均为常数．【想一想】

为什么必须有 2 2 D  E  4F  0的条件？讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆引导式启发学生得出结果45

*巩固知识 典型例题例 3 判断方程 2 2

x  y  4x  6y  3  0 是否为圆的方程，如果是，求出圆心的坐标和半径．解 1 将原方程左边配方，有2 2 2 2 2 2

x  4x  2  2  y  6y  3  3  3  0 ，即 2 2 2

(x  2)  ( y  3)  4 . 所以方程表示圆心为(2，3) ，半径为 4 的一个圆．解 2 与圆的一般方程相比较，知 D  4,E  6,F  3．故2 2 D  E  4F  16  36  4 (3)  64  0 ，所以方程为圆的一般方程，由2 2 4

2, 3, 42 2 2D E D  E  F

    知，圆心的坐标为 (2,3) ，半径为 4．说明强调引领讲解说明观察思考主动求解

通 过例 题进 一步 领会55

- 87 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

【说明】

给出方程求圆心和半径时，经常通过配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程．解 1 是经常使用的方法．*运用知识 强化练习1．判断方程 2 2

x  y  4x  2y 1 0 是否表示圆．如果是，指出圆心和半径．2．已知圆的方程为 2 2

x  y  4x  0 ，求圆心的坐标和半径．3．已知圆的方程为 2 2x  y  6y  0 ，求圆心的坐标和半径．提问巡视指导思考求解了解学生知识掌握情况60*动脑思考 探索新知

观察圆的标准方程 2 2 2

(x  a)  ( y  b)  r 和圆的一般方程2 2

x  y  Dx  E y  F  0 ，可以发现：这两个方程中分别含有三个字母系数 a, b, r 或 D, E, F ．确定了这三个字母系数，圆的方程也就确定了．因此，求圆的方程时，关键是确定字母系数 a, b, r （或 D, E, F ）的值．介绍讲解说明了解思考带领学生分析65

*巩固知识 典型例题

例 4 根据下面所给的条件，分别求出圆的方程：

（1） 以点 (2,5) 为圆心，并且过点 (3,7) ；（2） 设点 A(4,3) 、 B(6,1) ，以线段 AB 为直径；（3） 经过点 P(2,4) 和点 Q(0,2) ，并且圆心在直线x  y  0 上．分析 根据已知条件求出圆心的坐标和半径，从而确定字母系数 a、b、r，得到圆的标准方程．这是求圆的方程的常用方法．

解 ⑴ 由于点（−2，5）与点（3，−7）间的距离就是半径，所以半径为2 2

r  (3  2)  (7  5) 13 , 故所求方程为说明强调引领观察思考

通 过例 题进 一步 领会- 88 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

2 2

(x  2)  ( y  5) 169 ．（2） 设所求圆的圆心为 C，则 C 为线段 AB 的中点，即4 6 3 1, 2 2C    

  ．半径为线段 AB 的长度的一半，即1 2 2 1(4 6) (3 1) 20 52 2

r       , 故所求圆的方程为2 2(x  5)  ( y 1)  5 ．

（ 3 ） 由 于 圆 心 在 直 线 x  y  0 上 ， 故 设 圆 心 为0 0 C(x ,x ) ，于是有CP  CQ ，即

2 20 0

(x  2)  (x  4) 2 20 0

(x  0)  (x  2) ，解得 0 x  2 ．因此，圆心为(－2，2)．半径为2 2

r  (2  0)  (2  2)  2 ，故所求方程为2 2

(x  2)  ( y  2)  4 ．【想一想】例 4（3）是否还有其它解法？【知识巩固】

例 5 求经过三点O(0,0) ，A(1,1)，B(4,2) 的圆的方程（图8-20）．讲解说明引领讲解主动求解思考主动注意观察学生是否理解知识点

- 89 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

图 8－20

解 设所求圆的一般方程为 2 2

x  y  Dx  E y  F  0 ，将点Ｏ（0，0），A（1，1），B（4，2）的坐标分别代入方程，得2 22 22 2

0 0 0 0 0, 1 1 1 1 0, 4 2 4 2 0, D E FD E FD E F

       

               即0, 2, 4 2 20, FD E F

D E F 

    

     解得 D  8， E  6 ， F  0．故所求圆的一般方程为2 2

x  y  8x  6y  0 ．【试一试】

例 5 的解法中，如果设圆的方程为 2 2 2(x  a)  ( y  b)  r 是否可以？比较一下哪种方法简单？说明 求解75

*运用知识 强化练习

1．求以点 (4,1) 为圆心，半径为 1 的圆的方程．

2．求经过直线 x  3y  7  0 与3x  2y 12  0 的交点，圆心为C(1,1) 的圆的方程．3．求经过三点 O(0,0) ， M (1,0) ， N(0,2) 的圆的方程．提问

巡视指导思考求解了解学生知识掌握得情况 80

*理论升华 整体建构- 90 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

思考并回答下面的问题：圆的标准方程及一般方程？结论2 2 2

(x  a)  ( y  b)  r

这个方程叫做以点C(a,b) 为圆心，以 r 为半径的圆的标准方程．2 2

x  y  Dx  E y  F  0 （其中 2 2 D  E  4F  0）叫做圆的一般方程．其中 D、E、F 均为常数．质疑

归 纳强调回答

及 时了 解学 生知 识掌 握情况85

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导 回忆*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？判断方程 2 2

x  y  2x  4y  8  0 是圆的方程吗？为什么？提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果88

*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题 8.4 A 组（必做）；8.4 B 组（选做）(3)实践调查：对任意二元二次方程，判断是否是圆的方程说明 记录 分 层次 要

求

90

【教师教学后记】项目 反思点

学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；- 91 -学生的情感态度

学生是否参与有关活动；

在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况

学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】9.1 平面的基本性质【教学目标】知识目标：

（1）了解平面的概念、平面的基本性质；（2）掌握平面的表示法与画法．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】

平面的表示法与画法．【教学难点】

对平面的概念及平面的基本性质的理解．【教学设计】

教材通过观察平静的湖面引入了平面的概念，如窗户的玻璃面、黑板面等，介绍了平面- 92 -

面的表示法和画法。 请注意，平面是原始概念，原始概念无法定义。 教材是“光滑的然后用无限扩展的图形”记述平面。 在教学中，要强调平面在空间中无限扩展请参阅。

在说“通常用平行四边形表示平面”时，向学生指出以下内容。(1)绘制的平行四边形表示其整个平面，可以根据需要将其拉伸；)2)根据需要也可以用其他平面图形，例如三角形、多边形、圆、椭圆等表示平面，所以加上"通常"一词；)3)绘制表示水平平面的平行四边形时，通常将锐角绘制为45 ，将横向边绘制为相邻边的2倍.但是，实际画画时，不一定要按照上述规定画，在画直立的平面时，要画平行四边画一组三角形对边的铅垂线画其他位置的平面时，画平行四边形就可以了；)画两个相交的平面，一定要画交线)用文字表示平面时，通常将表示平面的希腊文字写在平行四边形的锐角内，且且不被其他平面遮挡的地方；

(6)在立体几何中，隐藏部分的线段是用虚线还是不画。

“确定一个平面”包含两层意思。 一个是存在性，也就是“存在一个平面”。 第二，唯一性，即“只存在一个平面”。所以“确定一个平面”也常说“有而只有一个平面”教材。【时间表】两帧。

【教育过程】教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴明确课题

9.1平面的基本性质对方案的引进感兴趣

观察平静湖面(图91 )1)，窗户的玻璃面(图91 )2)，我发现有共同的特征，比如黑板、课桌椅、墙面等。 是平的丁丁，给人一种光滑、平面的印象，但它们很有限。介绍抱有疑问理解

思考0

- 93 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴(1) (2) )。图91诱导分析启发

学习学生思考8

开动脑筋探索新知识【新知识】

平面的概念是从这些场景中抽象出来的指光滑无限扩展的图形。平静的湖面、窗户的玻璃面、黑色板面、课堂桌面、墙面等是平面的一部分。

我知道直线可以无限延伸，通常画直线的一部分用分钟表示直线。同样，也可以画出平面的一部分来表示平。面。

通常用平行四边形表示平面，使用小写的希腊字母用、表示不同的平面。 如图92所示，表示为平面、平面。也可以使用平行四边形的4个顶点的文字或2个相对的顶点的字出于母亲的原因，也可以将图92(1)中的平面表示为平面ABCD，平面AC或平面BD。【说明】

在某些情况下，可以用其他平面图形表示圆等平面。三角形等。水平放置平面时，通常将平行四边形的棱角描绘成45，

将旁边的边画为旁边的边的两倍长(图92(1) )。 当平面垂直于我们时放置时，通常将平面描绘成矩形(图92 )2)。解释说明领先分析

仔细地分析关键点语句

思考理解记忆率领学生分析- 94 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴A B德c

(2) ) ) )。图92(1) ) ) )。20巩固知识的典型例题

例1表示立方体ABCD A1B1C1D1 (图93 )的6个面3。

【说明】

如图93所示立方体那样写作立方体

ABCD A1B1C1D1也可以简称为立方体A1C .图93求解这6个面可以分别表示为平面AC、平面A1C1、平面面AB1、平面BC1、平面CD1、平面DA1。【试试看】请用别的方法表示这六个面。说明

强调领先解释说明观察思考自发地求解

通过例题进一

步行街能做到27运用知识加强练习

1 .列举生活中平面的实例。2 .画平面，写字母，表达。提问指导思考

说出答案领会知识32

对方案的引进感兴趣- 95 -教学问过程

教师行为学生行为教学意图时间伙伴【实验】

我把铅笔平放在桌子上，发现其中一支铅笔紧贴着桌子上.也就是铅笔紧贴在桌子边上的所有点都在桌子上(图94 )。图94

抱有疑问诱导分析思考启发学习学生思考37

开动脑筋探索新知识【新知识】

直线和平面都可以看作点的集合。点a、b在直线l上，记为aL、bL； 点a、b位于平面内，记为a、b.(图95 )通过上述实验和许多类似的事实，总结了平面的性质1 :如果直线l上的两点位于平面内，则直线l上的所有点在平面内。此时，直线l被称为平面内或平面通过直线l，记为. l .绘制直线l位于平面内的图形时，在平行四边形上绘制直线形状的内部(图95 )。解释说明领先分析思考理解率领学生分析铅

钢笔桌B子a

- 96 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间

图 9−542

*创设情境 兴趣导入【观察】

观察教室里墙角上的一个点，它是相邻两个墙面的公共点，可以发现，除这个点外两个墙面还有其他的公共点，并且这些公共点的集合就是这两个墙面的交线．质疑 思考带领学生分析45

*动脑思考 探索新知【新知识】

由上述观察和大量类似的事实中，归纳出平面的性质 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线（如图 9−6）．此时称这两个平面相交，并把所有公共点组成的直线l 叫做两个平面的交线．平面 与平面  相交，交线为l ，记作    l . 【说明】本章中的两个平面是指不重合的两个平面，两条直线是指不重合的两条直线．

讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析图9−6

- 97 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

图9−7

画两个平面相交的图形时，一定要画出它们的交线.图形中被遮住部分的线段，要画成虚线（如图 9−7（1）），或者不画（如图 9−7（2））. 【试一试】请画出两个相交的平面，并标注字母．引导

式启发学生得出结果55

*创设情境 兴趣导入【实验】

在桌面上只放一颗或两颗尖朝上的图钉，是否能将一块硬纸板架起？如果在桌面上放置三颗尖朝上的图钉，那么结果会怎样？质疑 思考带领

学生分析60

*动脑思考 探索新知【新知识】

由上述实验和大量类似的事实中，归纳出平面的性质 3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面（如图 9−8）．【说明】“确定一个平面”指的是“存在着一个平面，并且只存在着一个平面”．

讲解说明引领思考带领学生分析- 98 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

图 9−8

利用三角架可以将照相机放稳（图 9−9），就是性质 3 的应用．图 9−9根据上述性质，可以得出下面的三个结论．

1．直线与这条直线外的一点可以确定一个平面（如图 9−10（1））. 2．两条相交直线可以确定一个平面（如图 9−10（2））．3．两条平行直线可以确定一个平面（如图 9−10（3））. A(1)

(2)1

l （3）【试一试】

请用平面的性质说明这三个结论．分析

仔细分析讲解关键词语引领分析仔细理解记忆理解引导式启发学生得出结果- 99 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

工人常用两根平行的木条来固定一排物品（如图9−11（1））；营业员用彩带交叉捆扎礼品盒（如图9−11（2）），都是上述结论的应用．（1） （2）图9−11【想一想】

如何用两根细绳来检查一把椅子的 4 条腿的下端是否在同一个平面内？分析讲解关键词语记忆70

*巩固知识 典型例题

例2 在长方体 ABCD  A1B1C1D1（如图9−12）中，画出由A 、C 、 D1 三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线．分析 画两个相交平面的交线，关键是找出这两个平面的两个公共点．解 点 A 、 D1 为平面 与平面 ADD1A1的公共点，点 A 、 C 为平面 与平面 ABCD 的公共点，点 C 、 D1 为平面 与平面CC1D1D 的公共点，分别将这三个点两两连接，得到直线AD1、AC、CD1就是为由 A、C、D1三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线（如图9−12（2））．

说明强调引领讲解说明观察思考主动求解通 过例 题进 一步 领会注意观察学生

- 100 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

图 9−12【想一想】

为什么这三条连线都画成虚线？思考是否理解知识点

78

*运用知识 强化练习

1．“平面 与平面  只有一个公共点”的说法正确吗？2．梯形是平面图形吗？为什么？3．已知A、B、C是直线l上的三个点，D不是直线l上的点．判断直线AD、BD、CD是否在同一个平面内．提问巡视指导思考求解了解学生知识掌握情况83

*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：平面的基本性质？结论：

性质 1：如果直线 l 上的两个点都在平面α内，那么直线 l上的所有点都在平面α内．

性质 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线．性质 3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面．质疑归 纳强调

回答

及 时了 解学 生知 识掌 握情况86

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导 回忆*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？画出两个相交平面．提问

巡视指导反思动手求解检验学生学习效果89*继续探索 活动探究

(1)读书部分：教材 说明 记录 分 层- 101 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

(2)书面作业：教材习题 9.1 A 组（必做）；9.1 B 组（选做）(3)实践调查：寻找生活中的实例，用平面的性质解释次 要求

90

【教师教学后记】项目 反思点

学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；

在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况

学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质- 102 -【教学目标】知识目标：

（1）了解两条直线的位置关系；

（2）掌握异面直线的概念与画法，直线与直线平行的判定与性质；直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定与性质；平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定与性质．能力目标：

培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质．【教学难点】异面直线的想象与理解．【教学设计】

本节结合正方体模型，通过观察实验，发现两条直线的位置关系除了相交与平行外，在空间还有既不相交也不平行，不同在任何一个平面内的位置关系．由此引出了异面直线的概念．通过画两条异面直线培养学生的画图、识图能力，逐步建立空间的立体观念．空间两条直线的位置关系既是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的开始，又是学习后两种位置关系的基础．因此，要让学生树立考虑问题要着眼于空间，克服只在一个平面内考虑问题的习惯．通过观察教室里面墙与墙的交线，引出平行直线的性质，在此基础上，提出问题“空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角的度数存在着什么关系？请通过演示进行说明．”这样安排知识的顺序，有利于学生理解和掌握所学知识．要防止学生误认为“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的所有的直线”，教学时可通过观察正方体模型和课件的演示来纠正学生的这个错误认识．平面与平面的位置关系是通过观察教室中的墙壁与地面、天花板与地面而引入的．【教学备品】教学课件．【课时安排】

2 课时．(90 分钟)【教学过程】教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

- 103 -*揭示课题

9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质*创设情境 兴趣导入

观察图 9−13 所示的正方体，可以发现：棱 A1B1 与 AD 所在的直线，既不相交又不平行，它们不同在任何一个平面内．图 9−13观察教室中的物体，你能否抽象出这种位置关系的两条直线？

介绍质疑引导分析了解思考启发学 生思考

02

*动脑思考 探索新知

在同一个平面内的直线，叫做共面直线，平行或相交的两条直线都是共面直线．不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.图 9－13 所示的正方体中，直线 A1B1 与直线 AD 就是两条异面直线．这样，空间两条直线就有三种位置关系：平行、相交、异面．

将两支铅笔平放到桌面上(如图 9−14)，抬起一支铅笔的一端（如 D 端），发现此时两支铅笔所在的直线异面．讲解说明引领思考理解带领学生分析D

两 支铅笔桌

子 CA B- 104 -

图 9 −14（请画出实物图）

受实验的启发，我们可以利用平面做衬托，画出表示两条异面直线的图形（如图 9 −15）．(1) (2)图 9−15

利用铅笔和书本，演示图 9−15（2）的异面直线位置关系．分析仔细分析关键语句记忆5

*创设情境 兴趣导入

我们知道，平面内平行于同一条直线的两条直线一定平行．那么空间中平行于同一条直线的两条直线是否一定平行呢？观察教室内相邻两面墙的交线（如图 9−16）．发现：AA1 ∥BB1 ，CC1∥ BB1 ，并且有 AA1 ∥CC1．图 9−16质疑引导分析思考启发

学 生思考7

*动脑思考 探索新知

由上述观察及大量类似的事实中，归纳出平行线的性质：平行于同一条直线的两条直线平行．我们经常利用这个性质来判断两条直线平行．【想一想】

空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角的度数存在着什么关系？请通过演示进行说明．讲解说明引领分析思考理解带领学生分析10

*创设情境 兴趣导入- 105 -

将 平 面  内 的 四 边 形ABCD 的两条边 AD 与 DC，沿着对角线 AC 向上折起，将点 D折 叠 到 D1 的 位 置 ( 如 图9−17)．此时 A、B、C、 D1 四个点不在同一个平面内．图 9−17

质疑引领分析思考带领学生分析13*动脑思考 探索新知

这时的四边形 AB C D1 叫做空间四边形．【想一想】折叠过程中，哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化？讲解说明理解带领学生分析15

*巩固知识 典型例题

例 1 已知空间四边形 ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点（如图 9−18）．判断四边形 EFGH是否为平行四边形？解 联结 BD ．因为 E 、 H 分别为 AB 、 DA 的中点，所以 EH 为 ABD 的中位线．于是

EH // BD 且12

EH  BD ．

同理可得 FG // BD 且12

FG  BD ．

因此 EH // FG 且 EH  FG ．故四边形 EFGH 是平行四边形．说明强调引领讲解说明观察思考主动求解

通 过例 题进 一步 领会20

*运用知识 强化练习

1．结合教室及室内的物品，举出空间两条直线平行的例子.

2．把一张矩形的纸对折两次，然后打开（如第 2 题图）， 提问 思考及时了解

图 9−18- 106 -

说明为什么这些折痕是互相平行的？ 巡视指导解答 学生知识

掌握情况22

*创设情境 兴趣导入

将铅笔放在桌面上，此时铅笔与桌面有无数多个公共点；抬起铅笔的一端，此时铅笔与桌面只有 1 个公共点；把铅笔放到文具盒(文具盒在桌面上)上面，铅笔与桌面就没有公共点了．质疑 思考引导学生分析25

*动脑思考 探索新知

在 9.1 中，我们曾经介绍，直线 l 与平面 有无穷多个公共点时，直线l 在平面 内，其图形如图 9−19（1）所示．如果一条直线与一个平面只有一个公共点，那么就称这条直线与这个平面相交， 画直线与平面相交的图形时，要把直线延伸到平行四边形外（如图 9−19（2））. 如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直线与这个平面平行. 直线l 与平面 平行，记作l ∥ .画直线与平面平行的图形时，要把直线画在平行四边形外，并与平行四边形的一边平行（如图 9−19（3））．l

l

（1） （2）讲解

说明引领分析仔细分析思考理解带领学生分析引导式启发学生得出结- 107 -

4为了叙述简便起见，将线段 DD1所在的直线，直接写作直线 DD1，本章教材中都采用这种表述方法．l

（3）

这样，直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．直线与平面相交及直线与平面平行统称为直线在平面外．讲解关键词语

记忆 果30

*创设情境 兴趣导入

在桌面上放一张白纸，在白纸上画出两条平行直线，沿着其中的一条直线将纸折起（如图 9−20）．观察发现：在折起的各个位置上，另一条直线始终与桌面保持平行．图 9−20质疑 思考引导

学生分析32

*动脑思考 探索新知

从大量实验中归纳出判定直线与平面平行的方法:如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. 讲解说明理解记忆带领学生分析35

*巩固知识 典型例题

例2 如图9−21，长方体 ABCD  A1B1C1D1中,直线 DD14平行于平面 BCC1B1吗？为什么？图9−21

说明强调观察通 过

- 108 -

解 在长方体 ABCD  A1B1C1D1中，因为四边形 DCC1D1边是长方形，所以DD1∥CC1，又因为CC1在平面BCC1B1内，DD1在平面BCC1B1外，因此直线 DD1平行于平面 BCC1B1．引领讲解说明思考主动求解

例 题进 一步 领会识点

40

*创设情境 兴趣导入

将铅笔放到与桌面平行的位置上， 用矩形硬纸片的面紧贴铅笔，矩形硬纸片的一边紧贴桌面（如图 9−22），观察铅笔及硬纸片与桌面的交线，发现它们是平行的．图 9−22（请画出实物图）质疑

引导分析思考启发学 生思考

42

*动脑思考 探索新知

从大量的实验与观察中，归纳出直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平

面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行. 如图 9−23 所示，设直线l 为平面 与平面  的交线，直线m 在平面  内且 m ∥ ，则 m ∥ l ．图 9-23讲解

说明引领分析思考理解带领学生分析45*巩固知识 典型例题铅笔

- 109 -

例 3 在如图 9−24 所示的一块木料中，已知 BC ∥平面

A1B1C1D1 ，BC ∥ B1C1，要经过平面 A1C1内的一点 P 与棱 BC 将木料锯开，应当怎样画线？分析 设点P和棱BC确定的平面 ，则EF是 与平面A1B1C1D1 的交线，由于BC∥平面A1B1C1D1 ，故EF∥BC，B1C1 ∥ BC ．所以 EF ∥ B1C1．解 画线的方法是：在平面

A1B1C1D1 内，过点P作直线 B1C1的

平行线EF，分别交直线 A1B1 及直线 D1C1与点E、F，连接EB和FC．图 9−24说明

强调引领讲解说明观察思考主动求解通 过例 题进 一步 领会48

*运用知识 强化练习

1．试举出一个直线和平面平行的例子．

2．请在黑板上画一条直线与地面平行，并说出所画的直线与地面平行的理由．3．如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线是不是和这个平面内所有的直线都平行？4．说明长方体的上底面各条边与下底面平行的理由．提问

巡视指导思考求解及时了解学生知识掌握得情况 50

*创设情境 兴趣导入

教室中的墙壁与地面相交于一条直线，而天花板与地面，没有公共点．质疑 思考引导

学生分析52

*动脑思考 探索新知

如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行．平面 与平面  平行，记做 ∥  ．画两个互相平行平面的图形时，要使两个平行四边形的对应边分别平行（如图 9−25）．讲解说明

思考 带领学生分析

图 9−25

- 110 -

这样，空间两个平面就有两种位置关系：平行与相交．引领分析理解55

*创设情境 兴趣导入

进行乒乓球或台球比赛时，必需要保证台面与地面平行．技术人员利用水准器来进行检测．水准器内的玻璃管装有水，管内的水柱相当于一条直线，水准器内的水泡在中央，表示水准器所在的直线与地平面平行．把水准器在平板上交叉放置两次（如图 9−26），如果两次检测，水准器内的水泡都在中央，就表示台面与地面平行，可以进行比赛，否则就需要进行调整．图 9−26质疑 思考引导

学生分析57

*动脑思考 探索新知

实例中，技术人员使用的方法就是我们常用的判定平面与平面平行的方法：如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行．【想一想】

如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面内的一条直线 , 那么这两个平面是否一定平行讲解说明思考理解带领学生分析60

*巩固知识 典型例题

例 4 设平面 内的两条相交直

线 m，n 分别平行于另一个平面  内的两条直线 k，l（如图 9−27），试判断平图 9−27A mn

kl

说明强调观察思考通 过例 题- 111 -

面 ，  是否平行？

解 因为 m 在  外、l 在  内，且 m∥l，所以直线 m∥平面  ．同理可得 直线 n∥平面  ．

由于 m、n 是平面 内两条相交直线，故可以判断 ∥  ．引领讲解说明主动求解

进 一步 领会65

*创设情境 兴趣导入

将一本书放在与桌面平行的位置，用作业本靠紧书一边，绕着这条边移动作业本，观察作业本和书的交线与作业本和桌面的交线之间的关系（如图 9−28）．图 9−28（请画出实物图）质疑 思考 引导学生分析70

*动脑思考 探索新知由大量的观察和实验得到两个平面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行．如 图 9−29 所 示 ， 如 果 ∥  ，平面 与 、 都相交，交线分别为 m、n，那么 m∥n．图 9−29讲解说明引领分析思考理解带领学生分析75

*运用知识 强化练习放 到 不 同位置的本书

桌子

- 112 -

1．画出下列各图形：

（1）两个水平放置的互相平行的平面．（2）两个竖直放置的互相平行的平面．（3）与两个平行的平面相交的平面．

2.如图所示， //  ，M 在 与  同侧，过 M 作直线 a 与b ， a 分别与 、  相交于 A 、 B ，b 分别与、  相交于C 、 D ．⑴ 判断直线 AC 与直线 BD 是否平行；⑵ 如果 MA  4 cm， AB  5 cm， MC  3 cm，求 MD 的长.

a b

第 2 题图M

A CDB

提问巡视指导思考求解及时了解学生知识掌握得情况80

*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：异面直线的定义？结论：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 质疑归 纳强调回答

及 时了 解学 生知 识掌 握情况 83

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导 回忆85

*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？

设空间中四条直线 a、b、c、d，满足 a//b， b//c， c//d，试判断 a 与 d 的关系．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果87

*继续探索 活动探究

(1)读书部分：教材 说明 记录 分 层- 113 -【教师教学后记】项目 反思点

学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；

在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况

学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角【教学目标】知识目标：

（1）了解两条异面直线所成的角的概念；

(2)书面作业：教材习题 9.2 A 组（必做）；9.2 B 组（选做）(3)实践调查：寻找生活中的线线、线面、面面平行的实例次 要求

90

- 114 -

（2）理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念，二面角及其平面角的概念．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】

异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、二面角及其平面角的概念．【教学难点】

两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定．【教学设计】

两条异面直线所成的角可用来刻画两条异面直线之间的位置关系，它是本节教学的难点．学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念．例 1 是求异面直线所成的角的巩固性题目，一般来说，这类题目要先画出两条异面直线所成的角，然后再求解．斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别．两个平面相交时，它们的相对位置可用两个平面所成的角来确定．教材从观察建筑房屋、修筑河堤两个实例，结合实验引入二面角的概念，二面角的概念可以与平面几何中的角的概念对比进行讲解．

二面角的平面角的大小只与二面角的两个面的相对位置有关，而与平面角的顶点在棱上的位置无关．因此二面角的大小可以用它的平面角来度量．规定二面角的范围为[ 0 ,180 ]  ．【教学备品】教学课件．【课时安排】

2 课时．(90 分钟)【教学过程】教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*揭示课题

- 115 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角*创设情境 兴趣导入

在图 9−30 所示的长方体中，直线 BC1和直线 AD 是异面直线，度量 CBC1 和 DAD1，发现它们是相等的．如果在直线 AB 上任选一点 P，过点 P 分别作与直线 BC1 和直线 AD 平行的直线，那么它们所成的角是否与 CBC1 相等？图 9−30介绍质疑引导分析了解思考启发

学 生思考05

*动脑思考 探索新知

我们知道，两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角．

经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．

如图 9−31（1）所示， m ∥ m 、 n ∥ n ，则 m 与 n 的夹角 就是异面直线 m 与 n 所成的角．为了简便，经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点作为点O （如图 9−31（2））nm

m no

讲解说明引领分析思考理解带领学生分析- 116 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

(1)nm

m o

图 9-31(2)仔细分析关键语句记忆12*巩固知识 典型例题

例 1 如图 9−32 所示的长方体中， 1 BAB  30 ，求下列异面直线所成的角的度数：

(1) AB1 与 DC ； (2) AB1 与CC1. 解 （1）因为 DC ∥ AB ，所以BAB1为异面直线 AB1 与DC 所成的角．即所求角为30 . （2）因为CC1∥ BB1，所以 AB1B 为异面直线 AB1 与CC1所成的角．在直角△ ABB1中

1 ABB  90 ， 1 BAB  30 ，所以1 AB B  90  30  60 ，即所求的角为 60 .说明强调引领讲解说明观察思考主动求解

通 过例 题进 一步 领会17

- 117 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

A BD C

D1 C1 B1 A1 图 9−32*运用知识 强化练习

在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数：（1） DD1与 BC ；（2） AA1与 BC1 ．9.3.1 题图提问指导思考解答

领 会知识21

*创设情境 兴趣导入

正方体 ABCD  A1B1C1D1 中（图 9−33），直线 BB1与直线AB 、BC、CD、AD、AC 所成的角各是多少？可以发现，这些角都是直角． 质疑引导

分析思考启发学 生思考

- 118 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

高职高专是什么学历

垂线l 与平面 的交点叫做垂足. 画表示直线 l 和平面 垂直的图形时，要把直线 l 画成与平行四边形的横边垂直（如图 9−34 所示），其中交点 A是垂足．图 9−34讲解

说明引领分析思考理解带领学生分析30*创设情境 兴趣导入

将一根木棍 PA 直立在地面 上，用细绳依次度量点 P 与地面上的点 A、B、 C、D 的距离（图 9−35），发 现 PA 最短．

图 9−35质疑 思考带领学生分析32

- 119 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*动脑思考 探索新知

如图 9−35 所示， PA   ，线段 PA 叫做垂线段，垂足 A叫做点 P 在平面 内的射影．

直线 PB 与平面 相交但不垂直，则称直线 PB 与平面 斜交，直线 PB 叫做平面 的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．点 P 与斜足 B 之间的线段叫做点 P 到这个平面的斜线段．过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影．如图 9−35中，直线 AB 是斜线 PB 在平面 内的射影．从上面的实验中可以看到，从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，垂线段最短．因此，将从平面外一点 P 到平面 的垂线段的长叫做点 P 到平面 的距离．讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析40

对方案的引进感兴趣

如图936所示，炮兵在发射炮弹时，为了击中目标必须调整炮筒和地面的角度。图936

带着疑问思考率领学生分析42

开动脑筋探索新知识

斜线l与其在平面内投影l所成的角称为直线l和平如图937所示，PBA与直线PB是平面夹角。规定：直线垂直于平面时，夹角为直角； 直线和解释

说明思考

- 120 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴

平面平行或直线在平面内时，所成的角为零角。显然直线和平面所成角的可取范围为[ 0，90 ]同调【想想看】

如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定是平行的吗？图937领先

分析

仔细地分析解释

关键点单词

理解记忆率领学生分析47巩固知识的典型例题

例2如图938所示，等腰ABC顶点a位于平面外，

底边BC在平面内，已知底边的长度BC=16，腰的长度AB=17，另外也是已知的求从点a到平面的垂线段AD=10 .)等腰ABC的高AE的长度)2)斜线AE与平面所成的角的大小(准确地说是1 )。分析三角形AEB是直角我知道三角形，和斜边成直角的边，利用梯度定理计算AE的

长； aed由AE和平面构成

的角，三角形ADE为直角三角形，求出aed的正弦值即可求出斜线AE和平面所成的角。解(1)等腰ABC中，由于是aebc，用BC=16可以得到在be=8.rtaeb中，AEB=90图938说明

强调领先观察思考自发地求解

通过例题进一步行街能做到

- 121 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴

222AEabbe17815.)2)因为连接de.ad是平面的垂线，AE是斜线。所以DE是包含AE的投影。 因此，aed由AE和平面组成在的角. Rt ADE中，10 2sin

15 3ADAEDAE，

所以

aed42 .即斜线AE与平面所成的角约为42 .【请考虑一下】为什么这三条连接是用虚线画的？解释说明思考注意观察学生

不知怎的理解知识重点55

运用知识加强练习

长方体ABCD A1B1C1D1中，高度DD1=4cm，底面的边长为3cm的正方形，求出对角线D1B和底面ABCD所成的角的大小()1 ) ) .练习9.3.2图提问巡视指导思考求解

及时地理解学生知识把握得到同情状况60

对方案的引进感兴趣

盖房子时，为了美观和排除雨水的方便，有时需要试验考虑屋顶面和地面形成适当角度(图939 )1)； 正在建设河流堤坝的情况下，为了经济且牢固地具有耐久性，需要考虑堤坝的斜面和地面的形状使其成为适当的角度(图939 )2)。抱有疑问思考

启发思考

- 122 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴(2) ) ) )。图939(1) ) ) )。

在白纸上画一条线，沿着这条线把白纸对折，然后打开进行观察。诱导分析63

开动脑筋探索新知识

平面内的直线把平面分成两个部分，每个部分叫一个半平面。

由一条直线出发的两个半平面构成的图形叫两面角.这条直线叫二面角棱，这两个半平面是二面角的

面.以直线l (或CD )为棱，两个半平面分别为)的两面角表示为二面角l (或CD ) )图940 )。图940Cd

图941lonm

C D

棱上的一点分别在二面角的两个面内与棱垂直地射线以这两条放射线为边的最小正角称为二面角的平面角如941所示，在二面角l棱l上选择任意一点o，点o是下垂脚，在面和面内分别做omL、onL的话就是mon是这个二面角的平面角。解释说明领先分析

仔细地分析解释

关键点单词

思考理解记忆率领学生分析70对方案的引进感兴趣

把纸折成两个角，在角上选择不同的点做成两个角角，测量它们是否相等，想想是什么原因。带着疑问思考启发思考72

开动脑筋探索新知识- 123 -教学问过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴

二面角的平面角的大小由、的相对位置决定，由顶和棱上的点的位置无关，给定二面角后，该平面角的大小也随之确定。 因此，二面角的大小用其平面角来测定。二面角的两个半平面重叠时，二面角为零角； 变成两倍面角的两个半平面成为一个平面时，规定二面角为平角．因此二面角取值范围是[ 0 ,180 ]  ．

平面角是直角的二面角叫做直二面角．例如教室的墙壁与地面就组成直二面角，此时称两个平面垂直．平面 与平面 垂直记作  讲解说明引领分析思考理解记忆带领学生分析76

*巩固知识 典型例题

例 3 在正方体 ABCD  A1B1C1D1中（如图 9−42），求二面角 D1  AD  B 的大小．图 9−42

解 AD 为二面角的棱， AA1与 AB 是分别在二面角的两个面内并且与棱 AD 垂直的射线，所以 A1AB 为二面角D1  AD  B 的平面角．因为在正方体 ABCD  A1B1C1D1中，A1AB 是直角．所以二面角 D1  AD  B 为 90°.说明强调引领讲解说明观察思考主动求解

通 过例 题进 一步 领会81

- 124 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*运用知识 强化练习

在正方体 ABCD  A1B1C1D1中，求二面角 A  DD1  B 的大小. 练习 9.3.3 题提问巡视指导思考求解及时了解学生知识掌握得情况

86

*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：异面直线所成的角、二面角的平面角的概念？结论：

经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角．质疑归 纳强调

回答

及 时了 解学 生知 识掌 握情况87

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导 回忆*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？在正方体 AC1中，求平面 ABC1D1与平面 ABCD 所成的二面角的大小．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果

- 125 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

89

*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题 9.1 A 组（必做）；9.1 B 组（选做）(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的异面直线实例说明 记录 分 层次 要求

90

【教师教学后记】项目 反思点

学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；

在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况

学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；- 126 -

在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质【教学目标】知识目标：

（1）了解空间两条直线垂直的概念；

（2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】

直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质．【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直．【教学设计】在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点

作与已知直线垂直的直线，能作无数条. 例 1 是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可. 在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣．例 4 是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面 B1AC 内找到一条直线 AC 与平面 B1BDD1垂直．例 5 是巩固平面与平面垂直的性质的题目. 【教学备品】教学课件．【课时安排】

2 课时．(90 分钟)- 127 -【教学过程】教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*揭示课题

9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质*创设情境 兴趣导入【知识回顾】

如果空间两条直线所成的角是90º，那么称这两条直线互相垂直，直线a和b互相垂直，记作a⊥b．【想一想】演示并画出两条相交直线垂直与两条异面直线垂直的位置关系，并回答问题：经过空间任意一点作与已知直线垂直的直线，能作几条？介绍质疑引导分析了解思考启发

学 生思考05

*巩固知识 典型例题【知识巩固】

例1 如图9-43，长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断直线AB和DD1是否垂直．解 AB和DD1是异面直线，而BB1∥DD1，AB⊥BB1，根据异面直线所成的角的定义，可知AB与DD1成直角．因此 AB  DD1. 图9-43说明强调引领讲解说明观察思考主动求解

通 过例 题进 一步 领会10

*运用知识 强化练习

1．垂直于同一条直线的两条直线是否平行？

2．在图 9−43 所示的正方体中，找出与直线 AB 垂直的棱，并指出它们与直线 AA1的位置关系．提问指导思考解答了解知识掌握情况14

- 128 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*创设情境 兴趣导入【问题】

前面我们学过直线与平面垂直的概念.根据定义判断直线与平面垂直，需要判定直线与平面内的任意一条直线都垂直，这是比较困难的．那么，如何判定直线和平面垂直呢？【观察】

我们来看看实践中工人师傅是如何做的．

如图 9−44 所示，检验一根圆木柱和板面是否垂直．工人师傅的做法是，把直角尺的一条直角边放在板面上，看曲尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角尺与板面的交线，在两次检查中不能为同一条直线）．如果两次检查，圆木柱都能和直角尺的直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直．图 9−44质疑引导分析思考带领学生分析17

*动脑思考 探索新知【新知识】

从大量的实践与观察中，归纳出直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．讲解

说明 理解带领学生分析20

*巩固知识 典型例题【知识巩固】

例2 长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图9−45），直线AA1与平面ABCD垂直吗？为什么？说明强调观察

通 过

- 129 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

图9−45

解 因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面ABB1A1、AA1D1D都是长方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD．且AB和AD是平面ABCD内的两条相交直线．由直线与平面垂直的判定定理知，直线AA1⊥平面ABCD．图9−46[小提示]

在实际生活中，我们采用如图9−46所示的“合页型折纸”检验直线与平面垂直，就是直线与平面垂直方法的应用．【做一做】如果只给一个卷尺，你能否判断操场中立的旗杆与底面垂直吗？

引领讲解说明思考主动求解例 题进 一步 领会25

*创设情境 兴趣导入【观察】

观察道路边的电线杆可以发现它们都垂直于地面，并且这些电线杆是平行的．这一事实启发我们得出直线与平面垂直的性质．质疑引导分析思考启发

学 生思考28

*动脑思考 探索新知【新知识】- 130 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

由大量的实验与观察，归纳出直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行．如图 9−47 所示，设 m ， n  ，则 m∥n． 图 9−47mn

[想一想]

如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？为什么？讲解说明引领分析思考理解带领学生分析32

*巩固知识 典型例题【知识巩固】

例3 如图9−48，AB和CD都是平面 的垂线，垂足分别为B、D，A、C分别在平面 的两侧，AB＝4 cm，CD＝8 cm，BD＝5 cm，求AC的长．图9−48

解 因为AB⊥ ，CD⊥ ，所以 AB∥CD．因为BD在平面 内，AB⊥BD，CD⊥BD．设AB与CD确定平面  ，在平面  内，过点A作AE∥BD，直线AE与CD交于点E．在直角三角形ACE中，因为AE＝BD＝5 cm，CE＝CD＋DE＝CD＋AB＝8 + 4 =12（cm），所以 AC＝2 2 AE CE ＝2 2 5 12 ＝13（cm）．说明

强调引领讲解说明观察思考主动求解通 过例 题进 一步 领会注意观察学生是否理解知识点37

- 131 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*运用知识 强化练习

1．一根旗杆 AB 高 8 m，它的顶端 A 挂两条 10 m 的绳子，拉紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的 C、D 两点，并使点 C、D 与旗杆脚 B 不共线，如果 C、D 与 B 的距离都是 6 m，那么是否可以判定旗杆 AB 与地面垂直，为什么？2．如图所示，ABC 在平面 内，BAC  90 ，且 PA  于 A，那么 AC 与 PB 是否垂直？为什么？提问巡视指导思考解答及时了解学生知识掌握情况42

*创设情境 兴趣导入【知识回顾】

两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么称这两个平面互相垂直．平面 与平面  垂直，记作   ．画表示两个互相垂直平面的图形时，一般将两个平行四边形的一组对边画成垂直的位置，可以把直立的平面画成矩形（图 9−49（1）），也可以把直立的平面画成平行四边形（图 9−49（2））． 

（2）

图 9−49【做一做】

请动手画出图9−50中的两个图形．质疑 观察带领学生分析

- 132 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

[实例]

建筑工人在砌墙时，把线的一端系一个铅锤，另一端用砖压在墙壁面上（图9−50），观察系有铅锤的线与墙面是否紧贴（在铅锤处应有一空隙），即判断所砌墙面是否经过地面的垂线，以此保证所砌的墙面与地面垂直．图 9−50引导

分析思考48

*动脑思考 探索新知【新知识】

这种做法的依据是平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．如图 9−51 所示，如果 AB   ， AB 在 内，那么  ．图 9−51讲解说明引领分析理解带领学生分析52

*巩固知识 典型例题【知识巩固】

例4 在正方体ABCD-A1B1C1D1（如图9−52）中，判断平面B1AC与平面B1BDD1是否垂直．说明强调观察

- 133 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

图9−52

解 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以BB1⊥AC，在底面正方形ABCD中，BD⊥AC，因此AC⊥平面BB1D1D，因为AC在平面B1AC内，所以平面B1AC与平面B1BDD1垂直．

引领讲解说明思考主动求解通 过例 题进 一步 领会57

*创设情境 兴趣导入【实验】

如图 9−53 所示，在正方体 A1C 的侧面 A1ABB1 中，作EE1  AB ，观察 EE1与底面 ABCD 的关系． A1D1 C1B1A

D CB

图 9−53E1E

质疑引导分析思考带领学生分析60*动脑思考 探索新知【新知识】- 134 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

可以看到，由于 EE1  AB ，故 EE1 ∥ BB1，又 BB1  BC ，因此 EE1  BC ．这样，EE1就与底面 ABCD 中的两条相交直线AB、BC 都垂直，所以 EE1与底面 ABCD 垂直．由大量的观察与实践，归纳出平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．讲解说明引领分析理解记忆带领学生分析64

*巩固知识 典型例题【知识巩固】

例5 如图9−54所示，平面α⊥平面β， AC在平面α内，且AC⊥AB，BD在平面β内，且BD⊥AB，AC＝12 cm，AB＝3 cm，BD＝4 cm．求CD的长．图9−54

解 在平面  内，连结AD．又由于BD⊥AB，所以在直角三角形ABD中，2 2 2 2 2 AD  AB  BD  3  4  25 ，故 AD＝5（cm）．因为   ，AC在平面 内，且AC⊥AB，AB为平面 与 的交线，所以AC⊥  ．因此CA⊥AD．

在直角三角形ACD中，

2 2 2 2 2 CD  AC  AD 12  5 169，故 CD＝13（cm）．说明强调引领讲解说明观察思考主动求解

通 过例 题进 一步 领会注意观察学生是否理解知识点69

- 135 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*运用知识 强化练习

1．如图所示，在长方体 ABCD  A1B1C1D1中，与平面 AB1垂直的平面有 个，与平面 AB1垂直的棱有 条．

2．如图所示，检查工件相邻的两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边卡在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了，为什么？提问巡视指导思考求解及时了解学生知识掌握得情况

78

*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：直线与平面垂直的判定与性质？平面与平面垂直的判断与性质？结论：

直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行．平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．

平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．质疑归 纳强调

回答

及 时了 解学 生知 识掌 握情况82

*归纳小结 强化思想A BC DD

ABC

第 1 题图第 2 题图- 136 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 引导 回忆*自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？

一根旗杆 AB 高 8 m，它的顶端 A 挂两条 10 m 的绳子，拉紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的 C、D 两点，并使点 C、D 与旗杆脚 B 不共线，如果 C、D 与 B 的距离都是 6 m，那么是否可以判定旗杆 AB 与地面垂直，为什么？提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果88

*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题 9.4 A 组（必做）；9.4 B 组（选做）(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的两个平面垂直的实例说明 记录 分 层次 要

求

90

【教师教学后记】项目 反思点

学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；

在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况

学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；- 137 -是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况

学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】9.5 柱、锥、球及其简单组合体(一)【教学目标】知识目标：

（1）了解棱柱、棱锥的结构特征；

（2）掌握棱柱、棱锥面积和体积计算. 能力目标：

培养学生的观察能力，数值计算能力及计算工具使用技能. 【教学重点】正棱柱、正棱锥的结构特征及相关的计算．【教学难点】

正棱柱、正棱锥的相关计算．【教学设计】

教材首先介绍了多面体、旋转体的概念．然后通过观察模型，说明棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的结构特征及其面积、体积的计算公式．正棱柱的侧面积、全面积、体积的计算公式经常使用，不要把侧面积、全面积计算公式记混了．侧面都是全等的矩形的直四棱柱不一定是正四棱柱．底面是正方形的四棱柱不一定是正四棱柱．四棱锥 P-ABCD 中，如果棱锥的侧棱长相等，那么它一定是正四棱锥．如果棱锥的底面是正方形，那么它不一定是正四棱锥．例 1 是求正三棱柱的侧面积和体积的题目，例 2 是求正三棱锥的侧面积和体积的题目，要记住边长为 a 的正三角形的面积为

3 24

S  a ．【教学备品】教学课件．- 138 -【课时安排】

2 课时．(90 分钟)【教学过程】教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*揭示课题

9.5 柱、锥、球及其简单组合体【知识回顾】

在九年制义务教育阶段，我们学习过直棱柱、圆柱、圆锥、球等几何体．（1） （2） （3） （4）图 9−55

象直棱柱（图 9−55（1））那样，由若干个平面多边形围成的封闭的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的交点叫做多面体的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线. 像圆柱（图 9−55（2））、圆锥（图 9−55（3））、球（图 9−55（4））那样的封闭几何体叫做旋转体．

*创设情境 兴趣导入【观察】

介绍质疑讲解说明引导分析了解思考思考启发学 生思考

引导学生分析0

- 139 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

图 9−56

观察图 9−56 所示的多面体，可以发现它们具如下特征：（1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形；（2）每相邻两个四边形的公共边互相平行．10*动脑思考 探索新知【新知识】

有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体叫做棱柱,互相平行的两个面，叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面．相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．两个底面间的距离，叫做棱柱的高．图9−56所示的四个多面体都是棱柱．

表示棱柱时，通常分别顺次写出两个底面各个顶点的字母，中间用一条短横线隔开，例如，图9−56(2)所示的棱柱，可以记作棱柱 ABCD  A1B1C1D1，或简记作棱柱 AC1．经常以棱柱底面多边形的边数来命名棱柱，如图9−56所示的棱柱依次为三棱柱、四棱柱、五棱柱．侧棱与底面斜交的棱柱叫做斜棱柱,如图9−56（2）；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，如图9−56（1）；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，如图9−56（3）和（4），分别为正四棱柱和正五棱柱．正棱柱有下列性质：

（１）侧棱垂直于底面，各侧棱长都相等，并且等于正棱柱的高；（２）两个底面中心的连线是正棱柱的高．[想一想]

如果直四棱柱的侧面都是全等的矩形，它是不是正四棱柱？如果四棱柱的底面是正方形，它是不是正四棱柱？讲解说明引领分析思考理解带领学生分析

- 140 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

【新知识】

正棱柱所有侧面的面积之和，叫做正棱柱的侧面积．正棱柱的侧面积与两个底面面积之和，叫做正棱柱的全面积．图9−57观察正棱柱的表面展开图（图9−57），可以得到正棱柱的侧面积、全面积计算公式分别为S正棱柱侧  ch （9.1）

S正棱柱全  ch  2S底 （9.2）

其中，c 表示正棱柱底面的周长, h 表示正棱柱的高, S底 表示正棱柱底面的面积. 可以得到正棱柱的体积计算公式为（公式推导略）V正棱柱  S底h （9.3）其中, S底 表示正棱锥的底面的面积， h 是正棱锥的高.仔细

分析关键语句记忆25

*巩固知识 典型例题【知识巩固】

例 1 已知一个正三棱柱的底面边长为4 cm，高为5 cm，求这个正三棱柱的侧面积和体积．解 正三棱锥的侧面积为

S侧＝ch＝3×4×5 ＝ 60（ 2 cm ）．由于边长为4 cm的正三角形面积为说明强调观察

通 过例 题

- 141 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

3 2 4 4 34

  （ 2 cm ），所以正三棱柱的体积为

V  S底h  4 3  5 = 20 3 （ 3 cm ）．【小提示】边长为a的正三角形的面积为3 2

4

S  a ．【软件连接】

利用几何画板可以方便地作出棱柱的直观图形．方法是：首先选中所以绘制棱柱的名称（图 9−58），然后选择合适的位置，点击并拖动，即可得到棱柱的直观图形（图 9−59），最后再标注字母．图 9−58引领

讲解说明讲解说明思考主动求解思考理解进 一步 领会

带 领学生思考

- 142 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

图 9−5935*创设情境 兴趣导入

观察图 9−60 所示的多面体，可以发现它们具如下特征：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点．(3)

图 9−60质疑引导分析思考启发学 生思考

40

*动脑思考 探索新知【新知识】

具备上述特征的多面体叫做棱锥．多边形叫做棱锥的底面（简称底），有公共顶点的三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高．底面是三角形、四边形、……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、……．通常用表示底面各顶点的字母来表示棱锥．例如，- 143 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

图 9−60（2）中的棱锥记作：棱锥 S  ABCD ．底面是正多边形，其余各面是全等的等腰三角形矩形的棱锥叫做正棱锥．图 9−60 中（1）、（2）分别表示正三棱锥、正四棱锥．正棱锥有下列性质：（1）各侧棱的长相等；

（2）各侧面都是全等的等腰三角形．各等腰三角形底边上的高都叫做正棱锥的斜高；

（3）顶点到底面中心的连线垂直与底面，是正棱锥的高；（4）正棱锥的高、斜高与斜高在底面的射影组成一个直角三角形；（5）正棱锥的高、侧棱与侧棱在底面的射影也组成一个直角三角形．

【想一想】

四棱锥P-ABCD中，如果棱锥的侧棱长相等，那么它是不是正四棱锥？如果棱锥的底面是正方形，那么它是不是正四棱锥？【新知识】图9−61

观察正棱锥的表面展开图（图9−61），可以得到正棱锥的侧面积、全面积（表面积）计算公式分别为S  ch 21

正棱锥侧 （9.4）讲解

说明引领分析讲解说明引领分析思考理解思考记忆带领学生分析带领学生分析52- 144 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

S正棱锥全 ch  S底   21. （9.5）

其中, c 表示正棱锥底面的周长, h 是正棱锥的斜高, S底 表示正棱锥的底面的面积， h 是正棱锥的高.*创设情境 兴趣导入【实验】

准备好同底等高的正三棱锥与正三棱柱形容器，将正三棱锥容器中装满沙子，然后倒入正三棱柱形状的容器中，发现：连续倒三次正好将正三棱柱容器装满．质疑 思考带领

学生分析57

*动脑思考 探索新知【新知识】

实验表明，对于同底等高的棱锥与棱柱，棱锥的体积是棱柱体积的三分之一．即V正棱锥 S底h3

1  . （9.6）

其中, S底 表示正棱锥的底面的面积， h 是正棱锥的高. 讲解说明理解记忆带领学生分析62

*巩固知识 典型例题【知识巩固】

例 2 如图9−62，正三棱锥P-ABC中，点O是底面中心，PO＝12 cm，斜高PD＝13 cm．求它的侧面积、体积（面积精确到0.1 2 cm ，体积精确到1 3 cm ）．图9−62解 在正三棱锥P-ABC（图9−62）中，高PO＝12 cm，斜说明

强调引领观察思考

通 过例 题进 一步 领- 145 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

高PD＝13 cm．在直角三角形 POD 中，

OD＝ 2 2 PD  PO ＝ 2 2 13 12 ＝5（cm）．在底面正三角形ABC中，CD＝3OD＝15（cm）．所以底面边长为

AC＝10 3 cm．所以侧面积与体积分别约为1 13 10 3 132 2

S侧  ch     ≈337.7（ 2 cm ）．1 1 1 2(10 3) sin 60 123 3 2

V  S h      正棱锥 底 ≈520（ 3 cm ）．讲解说明主动求解会

72

*运用知识 强化练习

1. 设正三棱柱的高为 6，底面边长为 4，求它的侧面积、全面积及体积.2. 正四棱锥的高是 a，底面的边长是 2a，求它的全面积与体积. 提问巡视指导思考解答

及 时了解学生知识掌握情况 80

*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：

正棱柱的侧面积、全面积、体积公式，正棱锥的侧面积、全面积、体积公式？结论：

S正棱柱侧  ch ； S正棱柱全  ch  2S底 ；V正棱柱  S底h ；S  ch 21

正棱锥侧 ； S正棱锥全 ch  S底   21；

V正棱锥 S底h31  ．质疑归 纳强调回答

及 时了 解学 生知 识掌 握情况- 146 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

83

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导 回忆*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？设正三棱柱的高为 6，底面边长为 4，求它的侧面积、全面积及体积．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果89

*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题 9.5 A 组（必做）；9.5b组(选择做)(3)实践调查：用发现的眼光寻找生活中的正方柱实例说明记录的分层下次再说寻求

90

【教师教育后记】项目反思点

学生知识技能的掌握情况学生是否真正理解知识

能否利用知识、技能解决问题；知识、技能的掌握存在哪些问题；学生的感情态度学生是否参加有关活动

在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否想通过自己的努力克服；学生的思考状况学生是否积极思考；思维是否有秩序和灵活性能否提出新的想法；是否自觉反省；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作- 147 -在交流中，是否表现得积极；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否想开展实践能否根据问题合理实践；在实践中能否积极思考能否有意识地反思实践过程的方方面面【课题】10.1计数原理【教育目标】知识目标：

掌握分类计数原理和分段计数原理。能力目标：培养学生的观察分析能力。【教育要点】掌握分类计数原理和分段计数原理。【教育难点】区分运用分类计数原理和分段计数原理。【教育设计】

分类原理的特点：各方法之间相互独立，各方法中的各方法可以独立完成

事(一步到位)。(分步计数原理的特点)不能一步完成，必须依次完成每个步骤才能完成这件事(一)步骤不够) .决定应用分类计数原理还是分步计数原理的关键是判断能否一次性完成。例1、例2及例3为强化练习，主要是让学生强化所学的分类计数原理、阶段性计数原理理科。

“想想看”问题：第一步选团支部书记，第二步选班长，计算结果和上述的结果是一样的吗？ 答案是一样的。 第一任选举团支部书记从三人中选出一人，共有三人结果，每第一步的结果，第二步的班长有两种结果。 因此，总共有三、二、六种结果。“试试看”问题：你能说出分类计数原理和分步计数原理的区别吗？ 答案是“是”应用分类计数原理还是分段计数原理的关键是看能否一次性完成； 应用可以一次完成的分类数- 148 -原理； 由于不能一次完成，应用分步计数原理。【教育用品】

教材。

【时间表】两帧。【教育过程】教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴明确课题

10.1计数原理对方案的引进感兴趣【实例】

从太原到北京可以坐火车，也可以坐车，也可以坐飞机一天内有4班火车，17班汽车，6班飞机我是轮班的，从太原去北京每天有多少种不同的方法？解决这个问题需要分类研究。从太原到北京共有三种方案.第一类是坐火车，有四种方法； 二是坐车，有17个制定方法； 三是坐飞机。 有六种方法。 而且，每一种方法都是因为可以完成这件事(从太原到北京)，所以每天从太原到北京共享方法417627 (种)。介绍

抱有疑问解释

说明理解思考启发学习学生思考0

10

开动脑筋探索新知识【新知识】

一般来说，完成一件事有n种方式。 第一种方式有1k种方式法、第2类方式有2 k种方法、…、第n类方式有n k种方法，完成它的方法是共享的n12nkkk (种).(10.1 ) )。以上计数原理称为分类计数原理1。

解释说明领先分析理解记忆率领学生分析

1分类计数原理部分教科书写加法原则- 149 -教学问过程

教师行为学生行为教学意图时间伙伴20巩固知识的典型例题【知识的扎根】

例1三个袋子里分别装着9个红球2、8个蓝球和10个球白球。 取出一个球，一共有几种取法？取出一个球。 可能是红球、蓝球、白球。

第一个是取红色的球，从9个红色的球中任意取出一个，有1k9的方法；2类)取蓝色球，从8个蓝色球中任意取出一个。2k8种方法；3类)取白球，从10个白球中任意取出一个。2 k 10的方法。从分类计数的原理可以看出，不同的取值是共有的n981027 (种子)。说明强调领先解释说明观察思考

自发地求解通过例题进一

步行街能做到30运用知识加强练习

1 .书架上有7本数学书、6本国语书和4本英文书。 如果从书架上拿一本书，一共有多少种不同的取法？2 .某职业学校电子一班同学分为三组，甲组10人人，乙组11人，丙组9人。 接下来派一个人去学校的比赛活动有几种不同的方法？提问巡视指导思考解答理解学生知识把握状况40

对方案的引进感兴趣【提问】

从唐华、张凤、薛贵三位候选人中，选出两人分别担任班长和团支部书记有几种选举结果？解决这个问题需要分步骤研究。第一步选班长，第一步选抱有疑问

2本章中，除了袋子里的球颜色不同外，形状、重量等都完全相同。 每个球都有编号，任意两个同色的球都是不同球。- 150 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

二步选出团支部书记．每一步并不能完成选举工作，只有各步骤都完成，才能完成选举这件事．

如图 10－1 所示，第一步从 3 个人中选出 1 个人，共有 3种结果，对第一步的每种结果，第二步都有 2 种结果．因此共有3 2  6 种结果．第一步选班长 第二步选团支部书记唐华

张凤张凤薛贵薛贵唐华薛贵唐华张凤图 10－1【想一想】

如果第一步选团支部书记，第二步选班长，计算出的结果与上面的结果相同吗？引导分析思考启发

学 生思考50

- 151 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*动脑思考 探索新知【新知识】

一般地，如果完成一件事，需要分成 n 个步骤，完成第 1个步骤有 1k 种方法，完成第 2 个步骤有 2 k 种方法，……，完成第 n 个步骤有 n k 种方法，并且只有这 n 个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有N 1 2 n  k  k  k（种）． （10.2）

上面的计数原理叫做分步计数原理 1．讲解说明引领分析思考

理解 带领学生分析60

*巩固知识 典型例题【知识巩固】

例 2 某校电子八班有男生 26 人，女生 20 人，若要选男、女生各 1 人作为学生代表参加学校伙食管理委员会，共有多少种选法？解 这件事可以分成两个步骤完成：

第一步：从 26 名男生中选出 1 人，有 1k  26种选法；第二步：从 20 名女生中选出 1 人，有 2 k  20 种选法．由分步计数原理有N  26 20  520 （种）．即共有 520 种选法．

例 3 邮政大厅有 4 个邮筒，现将三封信逐一投入邮筒，共有多少种投法？解 分成三个步骤，每个步骤投一封信，分别均有 4 种方法．应用分步计数原理，投法共有4  4  4  64 （种）．说明

强调引领讲解说明观察思考主动求解通 过例 题进 一步 领会70

1 分布计数原理有些教科书上写作乘法原则．- 152 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

【试一试】

你能说出分类计数原理和分步计数原理的区别吗？*运用知识 强化练习

1. 两个袋子中分别装有 10 个红色球和 6 个白色球．从中取出一个红色球和一个白色球，共有多少种方法？2. 北京市电话号码为八位数字，问 8461 支局共有多少个电话号码？

提问巡视指导思考解答了解学生知识掌握情况80*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：说出分类计数原理和分步计数原理的区别？结论：

分类计数原理的特点：各类办法间相互独立，各类办法中的每种办法都能独立完成这件事（一步到位）．分步计数原理的特点：一步不能完成，依次完成各步才能完成这件事（一步不到位）．确定适用分类计数原理还是分步计数原理的关键是判断能否一次完成．

质疑

归 纳强调回答

及 时了 解学 生知 识掌 握情况85

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导 回忆*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？

两个袋子中分别装有 3 个红色球和 3 个白色球．从中取出一个红色球和一个白色球，共有多少种方法？提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果89

*继续探索 活动探究

(1)读书部分：教材 说明 记录 分 层- 153 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

(2)书面作业：教材习题 10.1 A 组（必做）；10.1 B 组（选做）(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的分步计数原理实例次 要求

90

【教师教学后记】项目 反思点

学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；

在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况

学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】10．2 概率（一）- 154 -【教学目标】知识目标：

（1） 理解必然事件、不可能事件、随机事件的意义．（2） 理解事件的频率与概率的意义以及二者的区别与联系．能力目标：培养学生的观察、分析能力．【教学重点】

事件 A 的概率的定义．【教学难点】概率的计算．【教学设计】

教材通过学生较为熟悉的六种现象，引出随机现象与必然现象、随机试验、随机事件、基本事件、必然事件以及不可能事件的概念及意义．在教学中要紧密结合这 6 个例子，讲清楚这些概念的意义，随机现象与必然现象的区别，随机事件与确定性事件的区别与联系，随机事件、必然事件、不可能事件的区别与联系．例 1 是巩固性例题，目的是让学生进一步认识随机事件、必然事件和不可能事件的区别．在讲解频率与概率时，要结合教材中的实验和引例讲清楚频率与概率的定义以及频率与概率的区别与联系．如果在相同的条件下，事件 A 在 n 次重复试验中出现了 m 次，那么比值 mn

叫做事件 A 的频率．当试验次数充分大时，事件 A 发生的频率 mn总在某个常数附近摆

动，这时就把这个常数叫做事件 A 发生的概率，记作 P A ．这个定义叫做概率的统计定义．【教学备品】教学课件．【课时安排】

2 课时．(90 分钟)【教学过程】教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*揭示课题

10．2 概率（一）*创设情境 兴趣导入介绍 了解 0- 155 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

【观察】

观察下列各种现象：

（1）掷一颗骰子5(图 10－2)，出现的点数是 4．（2）掷一枚硬币，正面向上．（3）在一天中的某一时刻，测试某个人的体温为 36.8℃．（4）定点投篮球，第一次就投中篮框．（5）在标准大气压下，将水加热到 100℃时，水沸腾．（6）在标准大气压下，100℃时，金属铁变为液态．质疑讲解说明思考启发

学 生思考10

*动脑思考 探索新知【新知识】

上面的（1）、（2）、（3）、（4）种现象，有可能发生，也有可能不发生．像这样，在相同的条件下，具有多种可能的结果，而事先又无法确定会出现哪种结果的现象叫做随机现象(偶然现象)．

上面的（5）、（6）两种现象都是确定性现象，其结果在一定条件下，必然发生（现象（5））或者必然不发生（现象（6））．我们通常使用试验和观察的方法来研究随机现象，这类试验和观察，事先可以预测到可能会发生的各种结果，但是无法预测发生的确切结果．在相同的条件下，试验和观察可以重复进行．我们把这类试验和观察叫做随机试验．试验的结果叫做随机事件，简称事件，常用英文大写字母 A、B、C 等表示．在描述一个事件的时候，采用加大括号的方式．如抛掷一枚硬币，出现正面向上的事件，记作A={抛掷一枚硬币，出现正面向上}．

在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件，用  表示．在一定条件下，不可能发生的事件叫做不可能事件，用讲解说明引领分析理解记忆带领学生分析15

5 本教材中，做抛掷试验的物体（这里是骰子）都是质地均匀的，后面不再逐个说明．- 156 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

表示．

*巩固知识 典型例题【知识巩固】

例１ 设在 100 件商品中有 3 件次品．

A ＝ { 随机抽取 1 件是次品 }；B ＝ { 随机抽取 4 件都是次品 }；C ＝ { 随机抽取 10 件有正品}．指出其中的必然事件及不可能事件．

解 由于 100 件商品中含有 3 件次品，随机地抽取 1 件，可能是次品，也可能是正品；随机地抽取 4 件，全是次品是不可能的；随机地抽取 10 件，其中含有正品是必然的．因此，事件 B 是不可能事件，事件 C 是必然事件．说明强调引领观察思考主动求解

通 过例 题进 一步 领会22

*创设情境 兴趣导入【问题】

任意抛掷一颗骰子，观察掷出的点数．事件 A＝{点数是1 }，B＝{点数是 2 }，C＝{点数不超过 2 }之间存在着什么联系呢？质疑引导分析思考启发

学 生思考26

*动脑思考 探索新知【新知识】

由于“点数不超过 2”包括“点数是 1”和“点数是 2”两种情况．事件 C 可以用事件 A 和事件 B 来进行描绘．即事件 C总是伴随着事件 A 或事件 B 的发生而发生．像事件 A 与事件 B 那样，作为试验和观察的基本结果，在试验和观察中不能再分的最简单的随机事件，叫做基本事件．像事件 C 那样，可以用基本事件来描绘的随机事件叫做复合事件．讲解说明引领分析思考理解带领学生分析32

*运用知识 强化练习

１．掷一颗骰子，观察掷出的点数，指出下列事件中的基本事件和复合事件：提问巡视思考解答及时了解学生

- 157 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

（1）A＝{点数是 1 }； （2）B＝{点数是 3 }；（3）C＝{点数是 5 }； （4）D＝{点数是奇数 }．2．请举出生活中某一个随机试验的基本事件和复合事件．指导 知识掌握情况40

*创设情境 兴趣导入【实验】

反复抛掷一枚硬币，观察并记录抛掷的次数与硬币出现正面向上的次数．【知识回顾】

设在 n 次重复试验中，事件 A 发生了 m 次（0 „ m„ n ），m 叫做事件 A 发生的频数．事件 A 的频数在试验的总次数中所占的比例nm

，叫做事件 A 发生的频率．质疑引导分析

思考 引导学生分析50

*动脑思考 探索新知【新知识】

在抛掷一枚硬币的试验中，观察事件 A={出现正面}发生的频率，当试验的次数较少时，很难找到什么规律，但是，如果试验次数增多，情况就不同了．前人抛掷硬币试验的一些结果如表 10－1 所示：表 10－1

试验者 抛掷次数(n)出现正面的次数(m)A 发生的频率(m/n)

蒲丰 4040 2048 0.5069皮尔逊 12000 6019 0.5016皮尔逊 24000 12012 0.5005维尼 30000 14994 0.4998从表 10－1 中可以看出，当抛掷次数 n 很大时，事件 A 发生的频率总落在 0.5 附近．这说明事件 A 发生的频率具有稳定性，常数 0.5 就是事件 A 发生的频率的稳定值．可以用它来描讲解说明引领分析思考理解带领学生思考

- 158 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

述事件 A 发生的可能性大小，从而认识事件 A 发生的规律．一般地，当试验次数充分大时，如果事件 A 发生的频率nm

总稳定在某个常数附近摆动，那么就把这个常数叫做事件 A 发

生的概率，记作 P(A). 因为在 n 次重复试验中，事件 A 发生的次数 m 总是满足0 „ m„ n ，所以 0 1 mn

„ „ ．由此得到事件的概率具有下列性质：

（1）对于必然事件  ， P() 1；（2）对于不可能事件， P()  0 ；（3） 0 „ P(A) „ 1．我们通常是通过频率的计算来估计概率并利用事件A的概率 P(A)来描述试验中事件 A 发生的可能性．仔细分析关键语句记忆55

*巩固知识 典型例题【知识巩固】

例 2 连续抽检了某车间一周内的产品，结果如表 10－2所示（精确到 0.001）：表 10－2星期 星 期一

星 期二星 期三星 期四星期五

星 期六星 期日

生产产品总数（n）

60 150 600 900 1200 1800 2400次品数（m）

7 19 52 100 109 169 248

频率 0.117 0.127 0.087 0.111 0.094 0.103说明强调引领观察思考

通 过例 题进 一步 领会- 159 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

求：（1）星期五该厂生产的产品是次品的频率为多少？（2） 本周内，该厂生产的产品是次品的概率为多少？分析 星期五该厂生产的产品是次品的频率可以利用 mn来计算．从表中可以看出，生产产品是次品的频率大约稳定在0.100 左右．

解 （1）记 A={ 生产的产品是次品 }，则事件 A 发生的频率为109

0.0911200mn   ，

即星期五该厂生产的产品是次品的频率约为 0.091．（2）本周内生产的产品是次品的概率约为 0.100．mn

  

  讲解说明主动求解67

*运用知识 强化练习

某市工商局要了解经营人员对工商执法人员的满意程度。进行了 5 次“问卷调查”，结果如表 10－3 所示：表 10－3被 调 查人数 n

500 502 504 496 505满 意 人数 m

375 376 378 372 404满 意 频率nm

（1）计算表中的各个频率；

（2）经营人员对工商局执法人员满意的概率 P(A)约是多少？提问巡视指导思考解答及时了解学生知识掌握情况77*理论升华 整体建构- 160 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

思考并回答下面的问题：事件 A 的概率的定义？结论：一般地，当试验次数充分大时，如果事件 A 发生的频率nm

总稳定在某个常数附近摆动，那么就把这个常数叫做事件 A 发生的概率，记作 P(A).质疑

归 纳强调回答

及 时了 解学 生知 识掌 握情况82

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导 回忆*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？请举出生活中某一个随机实验的基本事件和复合事件．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果89*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题 10.2 A 组（必做）；10.2 B 组（选做）(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的频率与概率关系实例说明 记录 分 层次 要

求

90

【教师教学后记】项目 反思点

学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；

在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况 学生是否积极思考；- 161 -

思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】10.3 总体、样本与抽样方法（二）【教学目标】知识目标：

了解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等三种抽样方法．能力目标：培养学生认识世界、探索世界的辩证唯物观．【教学重点】了解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等三种抽样方法．【教学难点】对简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等三种抽样方法的理解．【教学设计】

简单随机抽样、系统抽样、分层抽样是三种常用的抽样方法．三种抽样方法的共同特点是在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，体现了这些抽样方法的客观性和公平性．其中简单随机抽样是最基本的抽样方法，在系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机的抽样方法．当总体中的个数较少时，常采用简单随机抽样；当总体中的个数较多时，且其分布没有明显的不均匀情况，常采用系统抽样；当已知总体由差异明显的几个部分组成时，常采用分层抽样．- 162 -

简单随机抽样还可以利用随机数来进行．现在大部分函数型计算器都能产生在 0 ~ 1之间均匀分布的随机数，应用起来十分方便．例 4 是巩固性练习，老师要指导学生按照教材所介绍的“从容量为 N 的总体中，用系统抽样抽取容量为 n 的样本的步骤”进行练习．【教学备品】教学课件．【课时安排】

2 课时．(90 分钟)【教学过程】教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*揭示课题

10.3 总体、样本与抽样方法（二）*创设情境 兴趣导入【问题】

用样本估计总体时，样本抽取得是否恰当，直接关系到总体特性估计的准确程度．那么，应该如何抽取样本呢？介绍质疑了解思考启发

学 生思考05

*动脑思考 探索新知【新知识】

下面介绍几种常用的抽样方法．1．简单随机抽样

从一批苹果中选取 10 个，每个苹果被选中的可能性一般是不相等的，放在上面的苹果更容易被选中．实际过程又不允许将整箱苹果倒出来，搅拌均匀．因此，10 个苹果做样本的代表意义就会打折扣．我们采用抽签的方法，将苹果按照某种顺序（比如箱、层、行、列顺序）编号，写在小纸片上．将小纸片揉成小团，放到一个不透明的袋子中，充分搅拌后，再从中逐个抽出 10 个小纸团．最后根据编号找到苹果．这种抽样叫做简单随机抽样．讲解

说明观察

- 163 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

简单随机抽样必须保证总体的每个个体被抽到的机会是相同的．也就是说，简单随机抽样是等概率抽样．抽签法（俗称抓阄法）是最常用的简单随机抽样方法．其主要步骤为（1）编号做签：将总体中的 N 个个体编上号，并把号码写到签上；

（2）抽签得样本：将做好的签放到容器中，搅拌均匀后，从中逐个抽出 n 个签，得到一个容量为 n 的样本．当总体中所含的个体较少时，通常采用简单随机抽样．例如，从某班抽取 10 位同学去参加义务劳动，就可采用抽签的方法来抽取样本．当总体中的个体较多时，“搅拌均匀”不容易做到，这样抽出的样本的代表性就会打折扣．此时可以采用“随机数法”抽样．

产生随机数的方法很多，利用计算器（或计算机）可以方便地产生随机数．

CASIO fx 82ESPLUS 函数型计算器（如图 10－3），利用 · 键的第二功能产生随机数．操作方法是：首先设置精确度并将计算器显示设置为小数状态，依次按键 SHIFT 、MODE 、 2 ，然后连续按键 SHIFT 、 RAN# ，以后每按键一次 = 键，就能随机得到 0~1 之间的一个纯小数．采用“随机数法”抽样的步骤为：（1）编号：将总体中的 N 个个体编上号；（2）选号：指定随机号的范围，利用计算器产生 n 个有效的随机号（范围之外或重复的号无效），得到一个容量为 n引领

分析仔细分析关键语句理解记忆带领学生分析20- 164 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

的样本．

*巩固知识 典型例题【知识巩固】

例 3 某班有 50 名同学，学号为 1~50，试利用随机数从中抽取 10 名同学去参加义务劳动．

解 将计算器的精确度设为 0.01．取小数点后面的两位数作为抽取的学号，如果超过 50 就舍去，重复的也舍去．这样，用计算器得到随机数0.08， 0.03， 0.75， 0.53， 0.13， 0.10， 0.44，0.78， 0.12， 0.79 ，0.38， 0.78， 0.74， 0.97， 0.19， 0.90， 0.87，0.21， 0.53， 0.50．所以抽到的同学的学号是

8， 3， 13， 10， 44， 12， 38， 19， 21， 50．说明强调引领讲解说明观察思考主动求解

通 过例 题进 一步 领会30

*创设情境 兴趣导入【问题】

学校准备在全校 1000 名学生中，选出 100 名学生进行视力检查，如何抽样选取呢？质疑 思考启发

学 生思考35

*动脑思考 探索新知【新知识】

使用抓阄法和随机数法，都容易产生抽出的学生集中在一些班级，而有一些班级没有抽到学生的现象．

可以先将 1000 名学生编号分段，分成 100 段，每段 10 人，然后规定抽取每段的第 2 个顺序号的学生（也可以作其他规定），即第 2 号，12 号，22，…，992 号，组成样本．这样的样本具有较好的代表性．像上面那样，当总体所含的个体较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分中抽取讲解

说明引领分析思考理解 带领学生分析

- 165 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

一定数目的个体．这种抽样叫做系统抽样（或机械抽样）．从容量为 N 的总体中，用系统抽样抽取容量为 n 的样本，按照下面的步骤进行：（1）编号：将总体的 N 个个体编号；（2）确定间隔：可以考虑用 Nn

（取整数）作间隔分段，将总体分成 n 段；

（3）抽样：按照一定的规则抽取样本．如抽每段的第 k个顺序号的个体(k 为小于 Nn

的整数)，得到容量为 n 的样本．45*巩固知识 典型例题【知识巩固】

例 4 某中职学校为了解 2009 级新生的身体发育情况，从1000 名新生中，利用系统抽样，抽取一个容量为 50 的样本．请你来完成这个抽样．解 将这 1000 名学生编号（也可以利用新生录取号），由于

10002050  ，

所以取每段间隔为 20，将编号分成 50 段，规定各段抽取第 16 个顺序号的学生，得到容量为 50 的样本．其学生号码依次为16，36，56，76， …，996．【想一想】

与简单随机抽样相比，系统抽样有哪些优点与缺点？说明强调引领讲解说明观察思考主动求解

通 过例 题进 一步 领会55

*创设情境 兴趣导入【问题】

考察某地区学生身高与体重的比例，该地区有小学生

13100 人，初中生 8600 人，高中生 7500 人，如何进行抽样？质疑 思考启发学生思考60

*动脑思考 探索新知- 166 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

【新知识】

由于随着年龄的增长，学生在小学、初中、高中等不同阶段，身高与体重的比例存在着显著的差异，所以，使用前面的几种方法抽样，样本的代表性不强，要考虑到不同阶段学生在样本中的比例．当总体是由有明显差异的几个部分组成时，可将总体按差异情况分成互不重叠的几个部分——层，然后按各层个体总数所占的比例来进行抽样，这种抽样叫做分层抽样．对分层抽样的每一层进行抽样时，可采用简单随机抽样或系统抽样．讲解说明引领分析思考理解带领学生分析70

*巩固知识 典型例题【知识巩固】

例 5 考察某地区 7 岁儿童的身高状况，应该如何抽取样本较好？(该地区城乡儿童比例为 3∶7)分析 由于我国城乡儿童的身高存在差异，故本题中的总体是由有明显差异的两个部分组成．这时，可将总体按差异情况分成两个部分，然后按各个部分所占的比例进行分层抽样．解 按照 3∶7 的比例从该地区的城市和农村中的 7 岁儿童中抽取样本．【试一试】

你能说出以上三种抽取样本的方法各自的特点吗？说明强调引领讲解说明观察思考主动求解

通 过例 题进 一步 领会75

*运用知识 强化练习

1．分别使用抓阄法和随机数法抽取一个体育彩票的号码（七个数字）．

2．学校一年级新生的 200 人中，抽出 50 人参加市教学质量抽样调查，分别使用抓阄法和随机数法进行抽样．比较抽样过程，你感觉到哪种方法好？3．某学校共有 3000 名学生，计划抽取 100 人的样本调查提问

巡视指导思考解答了解学生知识掌握情况- 167 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

学生对老师教学方法的满意程度．请你用系统抽样来完成．4．某农场在两块地种小麦，其中平地种 100 亩，坡地种20 亩．现需要对 6 亩地的小麦进行估产，应该如何抽取样本较好?82

*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：与简单随机抽样相比，系统抽样有哪些优点与缺点？结论：

与简单随机抽样相比，系统抽样可避免抽到的样本集中在一定的范围，而另有一些范围没有抽到的现象．缺点是抽取过程较繁锁．质疑

归 纳强调回答

及 时了 解学 生知 识掌 握情况85

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导 回忆*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？

请分别用抽签法和随机数法，从某班的 40 人中抽出 8 个人参加学校的教学质量调查会，写出抽取的过程．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果89

*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题 10.3 A 组（必做）；10.3 B 组（选做）(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的随机抽样实例说明 记录 分 层次 要求

90

【教师教学后记】项目 反思点

学生知识、技能的掌握情况 学生是否真正理解有关知识；- 168 -是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；

在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况

学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】10.4 用样本估计总体【教学目标】知识目标：

(1) 了解用样本的频率分布估计总体．

(2) 掌握用样本均值、方差和标准差估计总体的均值、方差和标准差．能力目标：培养学生认识世界、探索世界的辩证唯物观．【教学重点】

- 169 -

计算样本均值、样本方差及样本标准差．【教学难点】列频率分布表，绘频率分布直方图．【教学设计】

均值、方差和标准差是用来反映随机变量的统计规律的某些层面的数字指标即数字特征．用样本的数字特征去估计总体的数字特征是统计的重要思想方法．在教学中要向学生指出为什么要从总体中抽取样本．通过例题的教学，让学生体会用样本估计总体的思想．在教学中应向学生指出用样本估计总体的具体方法是：通过随机抽样，计算样本频率；利用样本频率估计总体概率．样本的容量越大，对总体的估计也就越精确．在制作一组数据的频率分布表时，决定组距与组数是关键，在一般情况下，数据越很多，分组的组数也变多

频率分布表和频率分布直方图是频率分布的两种不同表现形式，前者准确，后者直观，两者加起来，我们可以更清楚地理解一组数据的频率分布情况。平均值反映样本和总体的平均水平，方差和标准差反映样本和总体波动的大小度.方差和标准差在比较两组数据波动的大小时，这两个量是等效的。 标准偏差的优点是它的测量单位与原始数据的测量单位一致，有时很方便。例2从选拔射击运动员入手，巩固了平均的概念，使学生更容易掌握平均的计算方法和理解平均值的实际意义.特别要向学生强调说明平均值的作用。

【教育用品】教材。【时间表】两帧。【教育过程】教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴明确课题

10.4用样品估算整体对方案的引进感兴趣【知识评论】我在初中学习过度数分布图和度数分布表。 利用它们介绍抱有疑问理解

观察0

- 170 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴

可以清楚地看到各组内分布的数据个数。【知识的扎根】

例1某工厂根据去年全年生产某零件的日产记录(件)机器抽取了30份，得到了以下数据。

346 345 347 357 349 352 341 345 358 350354 344 346 342 345 358 348 345 346 357350 345 352 349 346 356 351 355 352 348列出频率分布表。分析样本的数据。 最大值为358，最小值为341。它们的差别是358-341=17。 组间距离为3，决定点，分数据六班。

一览显示频率分布表【提示】

设定点值时，需要考虑点值不与采样数据重叠。分组频率累积次数

340.5~343.5 2343.5~346.5加10346.5~349.5加5349.5~352.5正^ 6352.5~355.5 2355.5~358.5加5共计30 30领先分析解释说明思考解答启发

学习学生思考10

- 171 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴开动脑筋探索新知识【新知识】

各组内的数据个数被称为该组的度数，各组的度数和整体数据个数之比称为该组的频率。计算上述频数分布表各组的频度，将得到的频度分布表示在表中如10-8所示。表10-8

根据频率分布表，可以制作频率分布直方图(图10-4 )。图10-4

频率分布直方图的横轴表示数据分组的情况，以组间距离为单位位； 纵轴表示频率与组间距离的比。 因此，在某个组间距离频率数值中等于对应矩形的面积。【想想看】分组频率

340.5~343.5 2 0.067343.5~346.5 10 0.333346.5至349.5 (0.167349.5~352.5 6 0.2352.5~355.5 2 0.067355.5至358.5 (0.166共计30 1.000解释说明领先分析观察理解率领学生分析

- 172 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴

每个小矩形的面积之和为1 .为什么呢？【新知识】

根据图10-4，日产量344~346件天数最多，其频率较高这个长方形的面积，即31

0.11130.333。

根据样品的数据，去年的生产可以推测这类零件的状况去年有约3

日产量为344~346件。

频率分布直方图可以直观地反映样本数据的分布情况这可以在整体中推测和推测某个事件发生的概率。样本选择得当这个估计比较可靠如上所述，使用样本频率分布估计整体的步骤如下。(1)选择合适的采样方法获得样本数据；)2)计算数据的最大值和最小值，确定组间距离和组数，确定点列出点和频率分布表)3)建立频率分布直方图

)4)观察频率分布表和频率分布直方图，根据样本频率分布，在整体中估计某个事件发生的概率【软件链接】使用与教材配套的软件(也可以使用其他软件)，方的绘制的样本数据的频率分布直方图如图10-5所示。仔细地分析

关键点语句记忆

- 173 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间伙伴图10525

运用知识加强练习已知的示例如下。

25 21 23 25 26 29 26 28 30 2926 24 25 27 26 22 24 25 26 28)1)填写以下频率分布表：分组频率累计频率20.5至22，522、5至5~24.524.5至26.526.5至28.528.5至30.5合计)制作频率分布的直方图。提问

巡视指导思考解答及时地理解

学生知识把握状况35- 174 -教学问

过程教师行为学生行为教学意图时间

*动脑思考 探索新知【新知识】

除了分析样本数据，做出频率分布表与频率分布直方图，估计总体某事件发生的概率外，还要利用样本均值、标准差来估计总体．【知识回顾】

如果有 n 个数 1x ， 2 x ，…， n x ，那么 1 21( ) n x x x xn   

叫做这 n 个数的平均数或均值， x 读作“x 拔”． 均值反映出这组数据的平均水平．

例如，某班共有 10 名学生，一次数学测验的成绩分别为：78，65，47，84，92，88，75，58，73，68，则这 10 名学生的平均成绩为x = 78 65 47 84 92 88 75 58 73 6872.8

10

         ．

我们可以用样本的均值来估计总体．样本容量越大，这种估计的可信程度越高．【新知识】

观察某个样本，得到一组数据 1 2 3 n x，x ，x ，，x ，那么1 21

( ) n x x x xn   叫做这个样本的均值，样本均值反映出样本的平均水平．说明强调引领分析说明强调观察思考

通 过例 题进 一步 领会45

*巩固知识 典型例题【知识巩固】

例 2 要从两位射击选手中选拔一位参加射击比赛，让他们作测试，两位选手的 10 次射击成绩如表 10−9 所示：表 10−9射击序号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10说明强调观察思考

- 175 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

你觉得选哪位选手参加比赛合适呢？

解 将这 10 次射击成绩作为一个样本，来对两名选手的射击水平进行估计．分别计算数据的均值，得1(9.2 9.0 9.5 8.7 9.9 10.0 9.1 8.6 8.5 9.1) 109.16x          甲

1

(9.1 8.9 9.3 9.7 9.9 9.9 8.9 9.2 9.6 8.8) 109.33x          乙

显然 x甲  x乙 ．

由此估计，乙的射击平均水平高于甲，所以应选择选手乙去参加比赛．甲选手射击成绩

9.2 9.0 9.5 8.7 9.9 10.0 9.1 8.6 8.5 9.1乙选手射击成绩

9.1 8.9 9.3 9.7 9.9 9.9 8.9 9.2 9.6 8.8引领分析主动求解

通 过例 题进 一步 领会55

*创设情境 兴趣导入【问题】

学校英语提高班采用小班教学，每班 15 人．现有 A、B两个班参加统一的口语测试，成绩如表 10－10 所示：表 10－10A班677293698684457788918176849063

质疑引导

思考 启发学 生思考

- 176 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时

间同学成绩B班同学成绩789656838648986762706497967986试问哪个班的成绩较好些？分析

60

*动脑思考 探索新知【新知识】

将这次成绩作为样本，来评价两个班成绩．分别计算均值，得1

(67 72 93 69 86 84 451577 88 91 81 76 84 90 63)77.73x              A ，1

(78 96 56 83 86 48 981567 62 70 64 97 96 79 86)77.73x              B ，

A、B 两个班的平均成绩相同，也就是均值相同．我们再来比较两个班同学的成绩对于平均成绩的偏离程度，偏离程度越大，说明其成绩波动越大，教学两极分化；偏离程度越小，说明其成绩波动越小，教学水平均衡稳定．分别计算 A 班同学成绩与均值之差，如表 10－11 所示：讲解说明思考

- 177 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

表 10－11

序号 i 1 2 3 … 14 15成 绩i x

67 72 93 … 90 63偏 差i x  x

−10.73 −5.73 15.27 … 12.27 −14.73这些偏差有正数，也有负数．如果直接相加，就会出现偏差互相抵消，不能反映偏离程度．所以我们用偏差平方的均值来描述这种偏离程度．如果样本由 n 个数 1x ， 2 x ，…， n x 组成，那么样本的方差为

2 2 2 21 21

( ) ( ) ( ) 1n s x x x x x xn             ．分别计算两个班成绩的方差，得2 1 2 2 2

[(67 77.73) (72 77.73) (63 77.73) ] 167.0714sA       2 1 2 2 2

[(78 77.73) (96 77.73) (86 77.73) ] 255.9214

sB        由 2 2 s  s A B 估计，A 班的考试成绩比 B 班的波动小，因此 A班同学的学习成绩更稳定，总体看比 B 班的成绩好．由于样本方差的单位是数据的单位的平方，使用起来不方便．因此，人们常使用它的算术平方根来表示个体与样本均值之间偏离程度，叫做样本标准差．即2 2 21 2

1

[( ) ( ) ( ) ] 1       n s x x x x x xn  ．

引领分析仔细分析关键语句理解记忆带领学生分析- 178 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

70

*巩固知识 典型例题【计算器使用】

计算样本的方差（或标准差）一般是很麻烦的．可以使用计算器或计算机软件完成计算．下面通过实例来说明．例 3 求由数据156、178、170、173、169、156、164、163、152、157所组成样本的均值、方差、标准差（精确到 0.1）．

解 采用函数型计算器（这里是用 CASIO fx 82#ES PLUS型计算器）计算样本均值、样本方差和样本标准差的步骤如下：（1）将计算器设置为统计（STAT）状态．操 作 ： 按 一 次 MODE 键 ， 显 示1:COMP 2 :STAT 3:TABLE ，表示进入计算状态选项，按2 进入统计计算状态．

（2）输入数据

操作：在统计计算状态下，按键 1 进入单个变量输入数据状态，依次输入各个数据，每输入一个数据后，都要按键= ；输入最后一个数据 157 按键 =后再按键 AC ．（3）显示计算结果

① 依次按键：SHIFT 、 1 ，然后按键 4 ，最后依次按键 1 、 =，显示样本容量为：n=10．② 依次按键：SHIFT 、 1 ，然后按键 4 ，最后依次按键 2 、 =，显示样本均值为： x 163.8．③ 依次按键：SHIFT 、 1 ，然后按键 4 ，最后依次按键 4 、 =，显示样本标准差为： s =8. 6．（4）在显示样本标准差的基础上，依次按键：2 x 、＝ ，显示样本方差为： 73.32 s  ．

说明强调引领观察思考通 过例 题进 一步 领会- 179 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

【软件链接】

(1) 依次输入数据(如图 10－6)．图 10－6

（2）如图 10－7 所示，求样本均值时，在数据空白单元格(如C6)内输入“样本均值”，在“样本均值”右侧空单元格(如 D6)内输入“=AVERAGE（A1：A10）”，按回车键；求样本方差时，在数据空白单元格(如 C7)内输入“样本方差”，在“样本方差”右侧空单元格(如 D7)内输入“=VAR（A1：A10）”，按回车键；求样本标准差时，在数据空白单元格(如 C8)内输入“样本标准差”，在“样本标准差”右侧空单元格(如 D8)内输入“=SQRT（D7）”，按回车键．讲解说明动手操作

- 180 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

图 10－780*运用知识 强化练习

从一块小麦地里随机抽取 10 株小麦， 测得各株高为(单位： cm)：

71、77、80、78、75、84、79、82、79、75．（1）求样本均值，并说明样本均值的意义．（2）求样本方差及样本标准差，并说明样本方差或样本标准差的意义.

提问巡视指导思考解答及时了解学生知识掌握情况 82

*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：均值，方差和标准差的含义？结论：均值反映了样本和总体的平均水平，方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度．质疑

归 纳强调回答

及 时了 解学 生知 识掌 握情况 85

- 181 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导 回忆*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？科研人员在研究地里的麦苗长势时，随机抽取 20 株，测得各株高为（单位：mm）：

61 67 58 67 65 64 59 62 58 6664 59 60 63 58 60 62 60 63 63求样本均值、样本方差、样本标准差．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果89

*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题 10.4 A 组（必做）；10.4 B 组（选做）(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的样本均值实例说明 记录 分 层次 要求

90

【教师教学后记】项目 反思点

学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；

在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况

学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；- 182 -学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；计算器型号不清楚!【课题】10.5 一元线性回归【教学目标】知识目标：

(1) 了解相关关系的概念．

(2) 掌握一元线性回归思想及回归方程的建立．能力目标：

增强学生的数据处理能力，计算工具的使用能力，分析问题和解决问题的能力，培养严谨、细致的学习和工作作风．【教学重点】

掌握一元回归方程．【教学难点】

理解相关关系、回归分析概念．【教学设计】

一切自然现象和社会现象都不是孤立的．事物与事物之间，变量与变量之间，都存在着某种关系．这类关系大体可分为两类：一类是确定性的，另一类是非确定性的．用来近似地描述具有统计相关关系的变量之间关系的函数叫做回归函数．一元回归处理两个变量之间的相关关系问题．如果两个变量之间的相关关系是线性的，就是一元线性回归问题．本教材根据学生的实际情况只介绍两个变量间的一元线性回归问题．通过建立回归方程，可以对相应的变量进行预测和控制．回归分析具有广泛的应用．- 183 -在本节教学过程中，由于统计量的计算十分繁杂，因此，必须注重训练学生利用计算器或计算机软件进行计算、求解的能力．

【教学备品】教学课件．【课时安排】2 课时．(90 分钟)【教学过程】教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

*揭示课题

10.5 一元线性回归*创设情境 兴趣导入【问题】

人的身高（cm）与体重(kg)之间有没有联系呢? 也许有人知道，平均标准体重的数值约为体重≈身高−105．

这个结果是通过大量样本的分析，估算出来的．介绍质疑讲解说明了解思考启发

学 生思考05

*动脑思考 探索新知【新知识】

表 10－12 中是随机抽取的 8 个学生的身高(单位:cm)与体重(单位:kg)的数据:表 10－12编

号

1 2 3 4 5 6 7 8身高 x

172 150 170 165 180 176 155 160体重 y

60 47 85 70 75 80 50 65学生的身高与体重之间存在着一定的关系，这种关系不像讲解说明引领分析理解记忆带领学生分析

- 184 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

以前研究的函数关系那样，知道身高，就能确定体重的值．但是一般身高的人，体重还是比较大的．

变量之间的这种非确定性的相互依存的关系叫做相关关系．它的特点是，当一个变量或 n 个变量的值确定后，另一个变量的值虽然与它（或它们）有着密切的关系，但却无法完全确定．下面要研究的问题是，能否利用确定性的关系来近似的描述相关关系．

15

*运用知识 强化练习

请举出具有相关关系变量的实例．提问 回答 20*动脑思考 探索新知【新知识】

我们继续研究 8 个学生的身高与体重的关系．

理解 带领学生分析

- 185 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

图 10−8

表面上散点图中的这些点杂乱无章，但是大体上呈现出一种直线走向趋势〔这是非常重要的，否则不能用一次函数来近似〕.这启发我们，人的体重 y 与身高 x 大体上有一次函数的关系，，即可以近似地有y  a  bx (10.5)

其中 a、b 是未知的，可以用样本的数据去估计 a、b 的值，估计值分别写作aˆ和bˆ ．

一般地，用 1 1 2 2 ( , ),( , ), ,( , )n n x y x y  x y 表示数据的 n 个有序实数对，则可证明得到aˆ与bˆ 的计算公式如下：1 1 1

2 21 1( )( )ˆ

, ( )        

n n n

i i i ii i i n ni ii i

n x y x ybn x x

ˆ aˆ  y  bx, 其中1 11 1

,      n ni ii i

x x y yn n ．方程

ˆ yˆ  aˆ  bxˆ （10.6）

叫做 y 关于 x 的回归方程，它的图形叫做回归直线. 【说明】 是求和符号, 1 2 1    n

i ni

x x x  x ．【计算器使用】

可以利用计算器来求出 aˆ和bˆ ，具体步骤如下：1．设置统计计算状态（STAT）．

操 作 ： 按 一 次 MODE ， 会 显 示

1:COMP 2 :STAT 3:TABLE ，表示进入 计算状态选项，仔细分析关键语句讲解说明记忆观察启发学生思考

- 186 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

按 2 进入统计计算模块．2．输入数据

操作：在上一步的基础上，按键 2 进入线性回归计算（A+Bx）指令， 依次输入数值，即 172 = 

150  =  170  =  165  =  180  = 176 = 155 = 160 = ，然后用中间光标键把输入位置移到 Y 下的第一位置，依次输入的数值，即60  =  47  =  85  =  70  =  75  =  80  =  50  =  65 AC．在输入中注意 x 的量和 y 的量要对应起来．3．显示计算结果

（1）按键 SHIFT  1 ， 然后按键 5 ，最后依次按键 1  = ，显示回归系数： A  105 ．（2）按键 SHIFT  1 ，然后按键 5 ，最后依次按键 2  = ，显示回归系数： B 1.02 ．因此，身高与体重之间的关系的线性回归方程为y 1.02x 105 ．即体重≈身高−105．【软件链接】

利用 Excel软件可以求出回归曲线和回归方程．其步骤为：（1） 在 Excel 工作表中输入数据(如图 10－9)．引领分析仔细分析关键语句思考理解记忆带领学生思考

- 187 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

图 10－9

（2） 选中数据区，按菜单栏的“插入／图表／图表类型／散点图／完成”．得出散点图（如图 10－10）．讲解说明引领分析观察思考理解记忆启发学生思考

- 188 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

图 10－10

（3）选中图表，按菜单栏的 “图表／添加趋势线”，然后在“类型”中选“线性”，在“选项”中选定“显示公式”，“确定”．如图 10－11，图表中显示模拟直线以及回归方程．65- 189 -教 学

过 程教师

行为学生行为教学意图时间

图 10－11【说明】

由于计算器与 Microsoft Excel 在统计功能部分的编程算法有所不同,故对同一组数据计算结果会有偏差．*运用知识 强化练习

某一公司为了研究某一类产品的广告费用与其销售额（单位：万元）之间的关系，对多个厂家进行了调查，数据如下：厂家

1 2 3 4 5 6 7 8 910

广告费

i x6

0453525402030502535销售额

i y5

20500440380525365475540450385试求销售额 y 关于广告费 x 的一元线性回归方程．提问巡视指导思考解答及时了解学生知识掌握情况75*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：相关关系的定义？相关关系的特点？结论：

学生的身高与体重之间存在着一定的关系，这种关系不像象以前研究的函数关系那样，知道身高，就能确定体重的值．但是一般身高的人，体重还是比较大的．变量之间的这种非确定性的相互依存的关系叫做相关关系．

相关关系的特点是，当一个变量或 n 个变量的值确定后，另一个变量的值虽然与它（或它们）有着密切的关系，但却无质疑归 纳强调

回答

及 时了 解学 生知 识掌 握情况82

- 190 -教 学过 程教师

行为学生行为教学意图时间

法完全确定．

*归纳小结 强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导 回忆*自我反思 目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？已知某炼钢厂车间每年的利润 y 万元与废品率 x %的一组统计资料如下

废品率 x 1.3 1.5 1.6 1.7 1.9利润 y 150 120 110 100 70求利润 y 关于废品率 x 的一元线性回归方程．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果89

*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题 10.5 A 组（必做）；10.5 B 组（选做）(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中具有相关关系变量的实例．说明 记录 分 层次 要

求

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【教师教学后记】项目 反思点

学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；

在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；- 191 -

是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；